偏导数与全微分(V)

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1、（1）（2）（3）（5）（6）（4）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）第二节偏导数与全微分一、偏导数的定义及其计算方法三、高阶偏导数二、全微分的定义当沿着平行看作常数,一、偏导数的定义及其计算法一般地,设函数在变,y不变,实际上是的一元函数求一阶导数.函数关于自变量因此,轴方向变化时,沿平行于轴方向变化率就是把在研究一元函数时,已经看到变化率的重要性.但与一元函数比较,多元函数的情况要复杂得多.在这节我们讨论二元函数关于一个自变量的情况.1、偏导数的定义注：（1）求多元函数对某一自变量的导数时，切记将其它自变量都视为常数

2、，运用一元函数求导的方法求出偏导数。（2）fx(x0,y0)，就是fx(x,y),在点(x0,y0)的值.算f'x(x0,y0)可用3种方法.fy(x0,y0)fy(x,y)f'y(x0,y0)(1)用定义算.(2)先算f'x(x,y),再算f'x(x0,y0)f'y(x,y),f'y(x0,y0).(3)先算f(x,y0),再算f'x(x,y0)f'x(x0,y0)f(x0,y),f'y(x0,y),f'y(x0,y0).偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.例2.设证:例3.求的偏导数.解:求证偏导数记号

3、是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,有关偏导数的几点说明：１、２、当用偏导函数不能求出多元函数在某一点的偏导数时，不能断言在该点的偏导数不存在，必须用偏导数定义求。尤其是分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。解例5解按定义可知：2、二元函数偏导数的几何意义是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的３、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，ΔxΔyxy如图，一边长分别为x、y的长方

4、形金属薄片，受热后在长和宽两个方向上都发生变化，分别增加了Δx,Δy，则该金属薄片的面积A改变了多少？ΔA称为面积函数A=xy的全增量，由两部分组成：Δx，Δy的线性部分当(Δx,Δy)→(0,0)时，是一个比高阶无穷小。例：二、全微分的定义定义设函数在点(x，y)的某个邻域内有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内，如果函数在点（x，y）的全增量可以表示为其中A，B不依赖于Δx,Δy无关，而仅与x,y有关，则称函数在点处可微，称为函数在点(x,y)全微分,记作dz或df(x,y)，即显然，dz≈Δz1、全微分的定义（x,y）处的定理如果函数z=f(x,y)

5、在(x0,y0)点可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.证根据函数可微的定义，有当时，有，根据函数连续性定义，z=f(x,y)在点(x0,y0)处是连续的.因此在一元函数中，可导与可微是等价的。对于多元函数是否有此结论？结论：多元函数，可微一定连续，但连续不一定可微。问题：下面两个定理回答了此问题。定理（可微的必要条件）证明：由函数在点（x，y）处可微有如果函数在点(x,y)处可微,则它在该点(x,y)处的两个偏导数必定存在,且函数在点(x,y)的全微分为：即又因为中的A，B与Δx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。不妨取Δy=0，

6、则有上式两边同除以Δx，再令Δx→0，则有即说明存在，且同理可证存在，且故有注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能保证函数在点（x，y）可微。例如函数：由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。定理（可微的充分条件）如果函数的两个偏导数在点(x,y)都存在且连续，则函数在该点可微分。多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数连续偏导数连续偏导数存在小结以上有关概念和定理均可以推到三元及三元以上的函数中去。由于自变量的增量等于自变量的微分，故二元函数的全微分习惯上可写为类似地，三元函数的全微分为所

7、以例3求函数在点（2，-1）处的全微分。解：因为所以解：先求函数的两个偏导数：例2求函数的全微分。例4设函数在点（0，0）有增量Δx=0.2，Δy=0.3，求全微分dz。解：所以此题可理解为：在点（0，0）处x，y分别有增量Δx=0.2，Δy=0.3时，函数也产生增量Δz，并且Δz≈dz=1.8。例5求的全微分.解1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义小结4、多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数连续偏导数连续偏导数存在三

8、、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内