偏导数与全微分(VI)

《偏导数与全微分(VI)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§8.2偏导数与全微分偏导数全微分1CH1_一偏导数1定义定义1设在点的某个邻域内有定义，若存在，则称此极限值为在点处关于的偏导数，记为,，，若（水平变化率）2CH1_存在，则称此极限值为在点处关于的偏导数，记为,，，若在区域D上每一点处的偏导数都存在，则在区域D上有偏导函数(固定对求导)(固定对求导)3CH1_例1设求解例2设求解4CH1_例3设求解例4设求解5CH1_例5设，求解6CH1_注：未必有在点处的偏导数存在，在点处的连续。例如：在点处不连续，但是7CH1_2高阶偏导数一阶偏导数:二阶偏导数:（二阶混合

2、偏导数）8CH1_三阶偏导数:例6求的二阶偏导数。解9CH1_注：并非所有函数的二阶混合偏导数都相等。例如：它在点处的二阶混合偏导数定理1若的二阶混合偏导数和在点连续，则（简言之：二阶混合偏导数连续，必相等。）10CH1_二全微分1定义定义2设在点的某个邻域内有定义，若全增量可表示成其中是常数，则称在点处可微，且称为在点处的全微分，记为，即11CH1_规定注：从而？定理2设在点处可微，则和存在，且12CH1_证由可微的定义有取有因此故存在，且同理可证存在，且所以13CH1_注：若在区域D上可微，则有函数的微分例7设

3、求，解14CH1_例8设求解2可微、偏导数、连续之间的关系可微偏导数存在定理2连续15CH1_定理3设在点处可微，则在点连续。证由可微的定义及定理2有因此即记则有即在点连续。可微定理3连续()16CH1_例9证明函数在点处连续，且偏导数存在，但不可微。证在点处连续。在点处偏导数存在。17CH1_假设在点处可微，则即于是这于不存在，矛盾！在点处不可微。故18CH1_定理4设的偏导数在点处连续，则在点处可微。证19CH1_而且即所以在点处可微。（连续偏导定理4可微)20CH1_小结：连续偏导可微偏导数存在连续可微、偏导

4、数、连续之间的关系21CH1_