偏导数与全微分(III)

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1、8.2偏导数与全微分一、偏导数的概念二、高阶偏导数三、全微分偏增量定义　设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量△x时，相应函数有增量称为关于x的偏增量．记为相应的即一、偏导数的定义及其计算法1.偏导数的定义如果极限存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作即记为类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即存在，显然这个偏导数仍

2、是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作2.偏导函数:类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变量y的偏导函数为记作偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分母之商.这一点与一元函数导数记号是不同的，可看成函数的微分dy与自变量微分dx之商.3.偏导数的求法对于函数只要把y看作常量而对x求导数；只要把x看作常量而对y求导数；解问题：计算偏导数时能否将先代入中再对x求导？分析：记则求一点偏导数的方法：1.先求偏导函数，再代值；3.分段函

3、数在分段点用定义。2.证原结论成立．例3.求的偏导数.解:4.二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的例4设求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数.解原点(0,0)处对x的偏导数为在原点(0,0)处对y的偏导数为5.偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的

4、二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为解解问题：混合偏导数都相等吗？问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？例如,对三元函数u=f(x,y,z),本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有说明:函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等解证毕．（1）全

5、增量的概念三、全微分1.定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.（2）全微分的定义证：由2.可微分与连续3.可微的条件一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？同样可证证:因函数在点(x,y)可微,故得到对x的偏增量因此有定理(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可

6、微,则该函数在该点的偏导数必存在,且有注意:定理的逆定理不成立.多元函数偏导数存在函数不一定可微!一元函数在某点的导数存在是微分存在的充要条件，对于多元函数，当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出，但它与之差并不一定是较高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分。即：如:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.定理2(充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微分.习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏叠加原理也适用于二元以上函数的情况．微分之和这

7、件事称为二元函数的微分符合叠加原理．例8求在点(2,1)处的全微分.解由于与是连续函数，且所以在点(2,1)处的全微分为例9求的全微分.解多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)3.全微分（注意：与一元函数有很大区别）多元函数全微分的概念多

8、元函数全微分的求法多元函数连续、可导、可微的关系思考题思考题解答不能.例如,练习题练习题答案