偏导数与全微分(II)

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1、四、小结思考题一、偏导数三、高阶偏导数§6.4偏导数与全微分二、全微分一、偏导数1.【偏导数的定义】(1)【二元函数在一点处的偏导数】(2)【二元函数在区域内的偏导数】注意求偏导的方法！偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u=f(x,y,z)在(x,y,z)处(3)【多元函数的偏导数】例1.求解法1解法2在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求再代【解】不存在．例7.9例7.10例7.112.【有关偏导数的几点说明】(1)(2)①②求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；［解］［例如］③一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某

2、点偏导数存在连续，(3).【偏导数存在与连续的关系】【解】【例7.12】按定义可知：但函数在原点处并不连续(令y=kx,知极限不存在,故不连续).偏导数存在【思考题】连续偏导数存在.【结论】可偏导连续连续.(4).【偏导数的几何意义】如图(复习:反函数求导法则的几何意义)【几何意义】复习一元函数在可微微分即二、全微分由一元函数微分学中增量与微分的关系得2.【全增量的概念】1.【偏增量与偏微分】二元函数对x和对y的偏增量二元函数对x和对y的偏微分3.【全微分定义】即【定义】函数可微的充分条件与必要条件1.【可微的必要条件】事实上可

3、微连续【定理7.2】即：⑵可导与可微的关系:①一元函数：在某点的导数存在　微分存在．②多元函数：各偏导数存在　全微分存在．【结论】多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。故偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。即可微可偏导【警惕】若偏导数存在，虽能从形式上写出但它不一定是函数的全微分.但如果再假定多元函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的。即有下面的定理。(1)习惯上，记全微分为(3)全微分的定义（或叠加原理）可推广到三元及三元以上函数(2)全微分符合叠加原理．即：全微分=各偏微分之和【注】2.【可微的充分条件

4、】3.【充要条件】（即是定义）【注意】用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需验证例7.14偏微分在近似计算中的应用。例7.15多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导极限存在三、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:【定义式】其余类推(2)同样可得：三阶、四阶、…、以及n阶偏导数。(3)［定义］二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。【解】例7.17说明:函数在

5、其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等证明具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？(2)【问题】即混合偏导数与求导次序无关.即：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的先后顺序无关。例7.18偏导数的定义：偏导数的计算高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）四、小结可偏导与连续的关系：可偏导连续多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数极限、连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有很大区别）可微的条件必要条件（定理2）充分条件（定理3）充

6、要条件（定义）【思考题】