全微分与偏导数(I)

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1、第三节二、偏导数概念及其计算三、高阶偏导数全微分与偏导数第七章一、全微分一、全微分的定义定义3.1如果函数z=f(x,y)在定义域D中的点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，AΔx+BΔy称为函数f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.（线性主部）定理1.函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续二、偏导数定义及其计算法定义3.2存在,的偏导数，记为在(x0,y0)的某邻域内有定义则称此极限为函数极限设函数注意:同样可定义对y的偏导数若函数z=f(

2、x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)（不全面）2.偏导数的计算在点(1,2)处的偏导数。解：把x视为变量，其余视为常数，得把y视为变量，其余视为常数，得这就是两个偏导函数。它们在点(1,2)处的偏导数值为：例3.2求例求将y视为变量,其余视为常数,则u为关于y的指数函数,类似可得.的偏导数.解:将x视为变量,其余视为常数,则u为关于x的幂函数,所以所以偏导数记号是一个例3.6.已知理想气体的状态方程求证:证:说

3、明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,求函数在点（0，0）处的偏导数解例3.7可导不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)不连续!3.可微条件定理3.1(可微的必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有解:易知函数在点(0,0)偏导数存在但不可微.因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理3.1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:例3.8函数定理3.2(可微的充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.所以函数在点可微.注意到,故有可微必连续，可微必可导。反之不

4、然例3.10解：例3.11解：三、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有四个二阶偏导数：类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为例.设解:求:则定理3.3例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)例3.14

5、验证证:因为所以因此满足方程例3.15.证明满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程可知当*四、全微分的应用由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)半径由10cm增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了例.有一圆柱体受压后发生形变,到10.04cm,则高度由50cm减少到49.5cm,体积的近似改变量.求此圆柱体例.计算的近似值.解:设,则取则内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续2.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关3.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后

6、求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)练习.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及混合偏导数不一定相等二者不等证:令则则定理令同样在点连续,得例2计算函数且它们连续,所以例3计算函数解因为且它们连续，所以解因为的全微分。在点(2,1)处的全微分.4.设解:利用轮换对称性,可得注意:x,y,z具有轮换对称性答案:作业P541,2,35.已知在点(0,0)可微.备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连证明函数所以同理2)3)极限不存在,在点(0,0)不连续;在点(0,

7、0)也不连续.同理,4)下面证明可微:令则说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.练习1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:练习2.计算函数的全微分.解: