偏导数与全微分(VIII)

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1、2.7偏导数与全微分让我们先回放一下关于二元函数的定义及有关于二元函数的一些简单知识：一、二元函数的概念1.二元函数的定义设有三个变量x,y和z,如果当变量x,y在一定范围内任意取定一对数值时.变量z按照一定的规律f,总有确定的数值与它们对应，则称z是x,y的二元函数，记为定义1*自变量x、y的取值范围称为函数的定义域.其中x,y称为自变量，z称为因变量．二元函数在点(x0,y0)所取得的函数值记为二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用D表示.2.二元函数的定义域围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域.连同边界在内的

2、区域称闭区域，如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域.关于二元函数定义可以由下列图形结合理解:二元函数的图形是空间的曲面S,二元函数的定义域是xoy面上的点集xzyoDS例：求下列函数的定义域，并画出区域：xyoyo常用到的一些平面区域:abcdxD(矩形区域)(半平面区域)abxy(带形区域)(圆域)(圆环域)D（两曲线所围区域）=称为函数z对x的偏增量，2.7偏导数和全微分１．偏导数的定义定义则增量记为xz，如果当时，比值的极限存在，即则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，

3、记作即同样，z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为记作或其中称为函数z对y的偏增量.如果f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数是x,y的函数，此函数称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，类似地，记作在不致混淆的情况下，偏导函数也称偏导数.2.偏导数的求法求对自变量(或)的偏导数时,只须将另一自变量(或)看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算.例1设函数求解：例2设函数解：类似可得定义2.8二阶偏导数函数z=f(x,y)的

4、两个偏导数一般说来仍然是x,y的函数，如果这两个函数关于x,y的偏导数也存在，则称它们的偏导数是f(x,y)的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四个：（用符号表示如下）其中及称为二阶混合偏导数.类似的，可以定义三阶、四阶、…、n阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，称为函数f(x,y)的一阶偏导数.注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的即例3试求，.解验证了请同学们自己计算：2.7.2全微分与一元函数的微分类似,具备一定条件的二元函数的全增量也有相应地简单近似公式,即全微分，记为：dz，即这时，也称函数z=f(x,y)在点(

5、x0,y0)处可微.定义如果二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在且连续，称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的全微分，可以如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点都可微，则称函数z=f(x,y)在区域D内可微.一般地,记,则的全微分可写成例1求函数在点(2,1)处当时的全增量与全微分.解全增量因为所以全微分关于2.7.3二元复合函数的微分法2.7.4二元函数的无条件极值同学们可以自己有兴趣阅读，本课不再作要求