用空间向量证明线线垂直与线面垂直.doc

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1、第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用或表示，其中向量的大小称为向量的长度或模，记为或。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A坐标为（x1，y1，z1）,点B坐标为（x2，y2，z2）则向量=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是终点坐标减起点坐标。在空间，知道向量=（x，y，z）则，=2、空间向量数量积①已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作=，=，则角∠AOB叫向量与的夹角，记作＜，＞规定，若0≤＜，＞≤，若＜，＞=，称与垂直，记作⊥

2、。②已知空间两个向量、，则COS＜，＞叫向量、的数量积，记作＝COS＜，＞若⊥＝０③若已知空间向量＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）则·＝x1x2+y1y2+z1z2　，　COS＜，＞＝例１　如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900,D1、E1分别为A1B1、A1C1中点，若BC=CA=CC，求向量与所成角的余弦值。C1B1Ａ1ＡＣＢD1E16E1DA1F1D1AB1CBC1练习：已知正方体ABCD—中，==，求向量与所成角的余弦值。二、利用向量证线线垂直与线面垂直例2在正方体ABCD—中，求证AC⊥平面ABDB1A1DCBAC1

3、D1练习：在正方体ABCD—中，O为底面ABCD的中心，P为DD的中点，B1A1DCBAC1D1OP求证：BO⊥平面PAC。ABCDPMN例3如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC中点（1）求证：MN⊥CD6（2）若∠PDA=45，求证：MN⊥平面PCDBNACDA1B1D1MPC1练习：正方体ABCD—中，M是棱DD中点，N是AD中点，P为棱AB上任一点。求证：NP⊥AM作业：EOB1A1DCBAC1D11.如图，正方体ABCD—中，E是BB中点，O是底面ABCD中心，求证：OE⊥平面DAC.OMB1A1DCBAC1D12.如图，正方体AB

4、CD—中，O,M分别是BD,AA中点，求证：OM是异面直线AA和BD的公垂线.CDMA1AC1BB13、如图，直三棱柱ABC-—ABC中，∠ACB=90，AC=1，CB=，侧棱AA=1，，侧面AABB的两条对角线交点为D，BC的中点为M。求证：CD⊥平面BDM6AA1MCBB1C1D1EFD4在棱长为a的正方体ABCD—中，E，F分别为棱AB和BC的中点，M为棱BB上任一点，当值为多少时能使DM⊥平面EFBFEDCBA5、如图，ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F为BE中点，求证：AF⊥BD6、如图，已知直三棱柱AB

5、C-ABC中BC=AC，AB⊥AC。C1B1Ａ1ＡＣＢ求证：AB⊥B1C6第三节利用空间向量求二面角及证明面面垂直一、二面角二面角，若的一个法向量为，的一个法向量为，则　，二面角的大小为或EBACB1C1A111例1．如图，正三棱柱中，E为的中点，，求平面与平面所成锐角的大小。VDCBA例2．（05年全国）如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VBD所成的二面角的大小．A1B1EDCBAC11D1练习：如图，棱长为1的正方体中，E是的中点，求二面角的余

6、弦值。6二．证面面垂直若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则。例3．在四棱锥P-ABCD中，侧面是正三角形，且与底面垂直，已知底面是面积为的菱形，，M是PB的中点。DACMBP（1）求证：（2）求二面角的度数；（3）求证：平面平面。FEPDCBA练习：（04年辽宁）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB的中点，点F为PD的中点。（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.作业：1．（04年广东）如图，在长方体中，已知分别是线段上的点，且。（Ⅰ）求二面角C-DE-C1的正切值

7、；（Ⅱ）求直线EC1与FD1所成角的余弦值。62．（05年全国）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。3．已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱底面ABCD，PA＝2，M、N分别是AD、BC的中点，于QNNMQAPDCB（1）求证：平面PMN平面PAD；（2）求PM与平面PCD所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值。ABCDEA1B1C14．（06年全国）如图，在直三棱柱

8、ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D