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《2020年高考数学（理）大题专题解析与训练《函数与导数》.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、函数与导数一、函数的最值（2020安徽省十四校联盟高三段考）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.试题解析（1）求曲线在点处的切线方程；（1）因为，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）求函数在区间上的最大值和最小值.（2）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.应对策略1.导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)；(
2、2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数.2.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．拓展延伸【拓展1】已知函数，.若，求函数的最大值；【解析】由题意得，，则，当时，，，所以，所以函数在上单调递增.所以函数在上的最大值为.【拓展2】（2019湘西自治州高三模拟）设函数．若存在最大值，
3、且，求的取值范围．【解析】的定义域为，，当或时，在区间上单调，此时函数无最大值，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，函数有最大值，最大值，因为，所以有，解之得，所以的取值范围是.变式训练一1.（2019河南濮阳市联考）已知函数在点处取得极值.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最大值.【解析】（1），因为在点处取得极值，所以，所以.（2），因为，所以，，所以在，上都是增函数，在上是减函数，又，，，所以，在上时的最大值为.2.（2019年广州市天河区一模）已知函数.（1）求函数的单调增区间．（2）对任意，使得是函数在区间上的
4、最大值，求实数的取值范围．【解析】（1），当，，函数递增区间是，当，递增区间是，当，递增区间是.（2）因为，所以，所以无论，还是，只需就能使得是函数在区间上的最大值，化简得，令，因为，所以，所以，解得，所以的取值范围是．二、利用导数研究不等式恒成立问题（2020广东省惠州市高三第三次调研）已知实数，设函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．【肢解1】（1）求函数的单调区间；【肢解2】（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．【肢解1】（1）求函数的单调区间；试题
5、解析【解析】(1)由,解得．①若,则当时,,故在内单调递增；当时,,故在内单调递减．②若,则当时,,故在内单调递增；当时,,故在内单调递减．综上所述,在内单调递减,在内单调递增．【肢解2】（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．【解析】,即．令,得,则．当时,不等式显然成立,当时,两边取对数,即恒成立．令函数,即在内恒成立．由,得．故当时,,单调递增；当时,,单调递减.因此．令函数,其中,则,得,故当时,,单调递减；当时,,单调递增．又,,故当时,恒成立,因此恒成立,即当时,对任意的,均有成立．应对策略利用导数解决
6、恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题．拓展延伸1.已知函数．若恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)由,解得．当时,,故在内单调递增；当时,,故在内单调递减．所以在上的极大值为．所以在上的最大值为1，若恒成立，则，解
7、得，所以实数的取值范围为.2.已知函数，（为常数）.若对任意恒成立，求实数的取值范围.【解析】已知，于是变形为，从而，即，整理得.令，则，即在上是减函数，所以，令，则，当时，，即此时单调递增；当时，，即此时单调递减，而，所以，所以.变式训练二1.（2019湖北省武汉市武昌区调研）证明：当时，；【解析】记，则．当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数．因为，所以当时，，即．记，则当时，，所以在上是减函数，所以，即．综上，．2.（2019湖北省武汉市武昌区调研）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．【解析】因为当时，，所以当时，不等式，对恒成立
8、．下面证明：当时，不等式对不恒成立．，所以存在（例如取和中的较小者）满足，即当时，不等式对不恒成立．综上，实数的取值范围是．模拟训练1.（2020届河北省邢台市高三上学期第二次月
