2012常微分方程试题B答案.doc

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1、常微分方程模拟试题(B)参考答案2012.7一、填空题（每小题3分，本题共30分）1．二2．3．或4．5.6.7.充分8.9.10.二、计算题（每小题5分，本题共20分）11.解：齐次方程的通解为(3分)令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+（5分）12.解：对应的特征方程为：，解得（3分）　　　　所以方程的通解为：（5分）13.，=1,所以此方程是恰当方程.（3分）凑微分，得（5分）14．（3分）（5分）三、计算题（每小题10分，本题共30分）15．特征方程为,即.特征根为，.（4分）对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为所以，原方程组的通解为（10分）.

2、16．解：（1）这是一个变量分离方程，通解为这里c是任意常数。（4分）假设是的通解，代入方程，则有积分后得到（8分）这里是任意常数，方程的通解为（10分）17.解：设f(x,y)=,则故在的任何区域上存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件.（4分）显然，是通过点（0，0）的一个解；（6分）又由解得，

3、y

4、=所以，通过点（0，0）的一切解为及

5、y

6、=（10分）四、证明题（每小题10分，本题共20分）18.证明：必要性若该方程为线性方程,则有,此方程有积分因子,只与有关.（4分）充分性若该方程有只与有关的积分因子,则为恰当方程,从而,,.其中.（8分）于是方程可化为即

7、方程为一阶线性方程.（10分）19．证明：的朗斯基行列式为                                                          因是基本解组,故             .                                                          若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即 最多只能有简单零点.同理对有同样的性质,故(i)得证.                                   若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即  无共同零点.故(ii)得证          

8、                                                                       若存在,使得则同样由行列式性质可得,矛盾.没有共同的零点..故(iii)得证.