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1、2008—2009第一学期常微分方程B卷答案1、求微分方程y二丄的通解.y+x2解：法一：原方程可化为鱼二^,令心上，血』+1xrllduu口门u+1fcLytl、亠如m八f/11、(fli则w+x—=,即—du=,两边取积分
2、(—I—)dw=—I—dx,dxu+1trx」uu~Jx积分得丄-ln“=lnx-lnC,将u=^-代入原方程，整理得原方程的通解为UXy=Cey(C为任意常数).dr丨法二：原方程可化为—--x=l为一阶线性微分方程，用常数变易法•解原方程所对应dyy所以原方稈的通解为即y=Ce；(C为任意常数).dr的齐次方程—-dy-~x=0f得其通解为x=Cy
3、.y设x=C(y)y为原方程的解，代入原方程，化简得CXy)y=.C(y)=ln丄G2、求微分方程©/_)卄5的通解.dxx-y-2解:法一：令t=x-y,则^=1-—,代入原方程得—=得其通解为:dxdxdx2-t4t-t2=14x+c,代入原变量得原方程通解为：x2+ x+y2-}-4y-2xy=c・法二：原方程为：(x—y+5)dx—(兀―y—2)〃y=0，凑微分得(x+5)dx+(y+2)dy-(xdy+ydx)=0,即d(—x2+5x)+〃(一)厂+2y)-d(jcy)二0于是原方程通解为：%2+10x+)/+4y-2xy=c.3、求微分方煜+3尸e“的通解.齐
4、次方程的通解为y=Ce'3v令非齐次方程的特解为y=C(x)e_3x代入原方程，确定出C2#+c原方程的通解为4、求微分方程^=6^-xy2的通解.解：方程是n=2时的贝努利方程，令z=)L算得—=-y-2代入原方程得到(lx(lx°>77Arrz—=--z+x,这是线性方程，求得它的通解为z=4+—,代冋原变量得原方程通dxxx68解-=-v+—或者二-—(C为任意常数)，此外，方程还有解y=0.yx68y85、验证方程(―+x2)dx+(Inx-2y)dy=0是全微分方程并求解.叫‘刃,故方程是全微分方程。V于是得通解为：皿+亍y—,c为任意常数.法二：因为所求函数u(x
5、,y)满足—=—+x2(1).—=lnx-2y(2)偏导数得俠刃应满足方程：lnx+坐⑴=lnx-2y,所以可以収^(y)=-y2f因此u(x,y)=ylnx+丄兀'一〉卫，所以通解为：ylnx+Z-b=c,c为任意常数.6^求微分方程(x2+y2+x)dx+xydy=0的通解.解：法一：将方程分组成(x2+x)dx+(y2dLr+xydy)=O,凑微分得(x2+x)cLv+—d(x2y2)=0,可见积分因子为“(x)=2x,方程两边乘以2x得全微分方2xr473程(2x3+2x2)cLy+d(x2y2)=0,积分得通解—+—+x2y2=c.23法二：记M=F+y2+x,N=
6、xy,贝\缨-竽)IN=L仅与X有关，所以有只dyoxx与兀有关的积分因子ceJx=cx,为积分方便起见，取常数c=2,得积分因子为“(兀)=2x.故得全微分方程2x(x2+b+劝血+2x2ydy=0,rr42r3u(x,y)=j2x{x2+y2+x)dx=—+/)“++c(y),其中c(y)是待定的函数.232〃r4?r3通过验证学=2/)，,得：cy)=0,c(y)可取为0.从而得积分—+—+x2y2=c.dy234322法三：(F+x1)dx4-xy2dx4-x2ydy=Ond(—+—)+d(X)=07、求微分方程x2+A”=1的通解.解：法一：方程是一阶隐式方程，
7、不显含y,令y=cost,代入方程，得x=sint由dy=costdx,积分得y=jcosft/sinr=—+sin2/+c,方程参数形式通解为x=sinty=—+—sin2r+c'I24法二：y-±71-x2=>y=±jyjx-x1dx=±—(arcsinx一xJl-x?)+c28、求解(1+=2x)?,y*o=2,y[,=o=3解:设y"=p(x),则y"=p',代入方程得Q+X，)p'=2xp,分离变量得也=彳“]p1+jc积分得In制=ln(l+x2)+ln
8、G
9、,即p=C,(l+x2),利用/
10、^0=3得G=3,于是有y=3(l+x2)两端再积分得y=x3+3x+C
11、2,利用y
12、x=0=2得C2=2,因此所求特解为y=疋+3兀+2.9、已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.解：设所求曲线方程为y=fM,P(x,y)为其上任一点，则过P点的曲线的切线方程为由假设，当X=0时Y=x,从而上式成为—--y=-1.因此求曲线y=y(x)的问题,dxxz_l=_]转化为求解微分方程的定解问题，的特解.丨$日=1由公式尸pe山dx+C,得y=ex(j(-l)e'dx+C)=-xlnx+Cx,代入v
13、=1得C=l,故所求曲线方程为y=x(
