《常微分方程》课程试题(a卷)答案

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1、中国海洋大学2008-2009学年第一学期期末考试试卷（Ａ）答案一、选择题1、B2、B3、B4、C5、A二、判断题1、2、√3、√4、Ö5、Ö三、填空题1、；．2、;是的连续.3、4、,其中是任意常数.5、个线性无关的解;无穷多四、简答题1、解：由于，故原方程有积分因子，求得通解为.52、证明：考查函数项级数(1)其部分和是为，因此，只须证明函数项级数(1)在上一致收敛．由的表示式.由李普希兹条件及上式，有假设对于正整数，有不等式.则由李普希兹条件，当时，有由数学归纳法知，对一切正整数K，皆有.又由于，有，从

2、而5(2)(2)式右端恰是收敛的正项级数的一般项，由M一判别法，函数项级数(1)在上一致收收敛，其和函数记为.故函数序列在上一致收敛.类似地可以证明在上一致收敛.3、解：(1)求的通解．由特征方程得特征根为，，其通解为．(2)用待定系数法求非齐方程的特解．设，则，，代入原方程，比较两端，系数，得，，所以，．故非齐通解为．4、证明:令　③则③是对应齐线性方程组的解组，并且可以证明是线性无关的．事实上，假设③是线性相关的，则存在一组不全为零的常数即．这表明有一组不全为零的常数使上式成立，这与是线性无关的题设矛盾，

3、因此③是线性无关的．5对方程组的任一解，必是对应齐线性方程组的解．又因为③是对应齐线性方程组的基本解组，必存在一组常数，使得即，亦即，故．反之，若，对于因为是对应齐线性方程组的解，也是对应齐线性方程组的解，而是的方程组的一个解，故是方程组的解．五、综合题1、解：火车的质量是，，速度为，加速度为，根据牛顿第二定律，有．整理，得到路程s应满足的二阶常系数非齐线性方程．可求得方程通解5．代入初始条件：当时，，，得，．故火车的运动规律为．　　２、解：A的特征值为，，，求对应的齐次方程组的基解矩阵为，有得　故所求的初值

4、问题解为＝．5