常微分方程期末试题(a)答案

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1、陇东学院2006—2007学年第二学期数学与应用数学专业常微分方程课程期末试卷（A）答案一、选择题（每题3分，共15分）。1、B2、D3、C4、B5、A。二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共15分）1、求解方程；解令，则，代入原方程，得，显然，为方程的一个解，从而为原方程的一个解。当时，分离变量，再积分，得，即通积分为：2、求解方程；解当时，分离变量得等式两端积分得方程的通积分为-6-3、求解方程解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+4、解方程解，因此，原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为

2、或即5、求解方程解令，则，原方程的参数形式为由，有整理得-6-由，解得，代入参数形式的第三式，得原方程的一个特解为由，解得，代入参数形式的第三式，得原方程通解为三、解下列方程组（每小题8分，共16分）。1、求方程组的通解；解特征方程为即特征根为，对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为所以，原方程组的通解为-6-2、（8分）求方程组的通解，解系数矩阵是特征方程为有三重特征根于是可设其解为解得可分别取，相应的为，为于是可得原方程组三个线性无关解由此可得方程的通解为四、解下列高阶方程（每小题8分，共24分）。1、求方程的

3、通解，解特征方程为：，即，由此得特征根为，，-6-因此，基本解组为，，所以通解为。2、求方程的通解，解特征方程为：，即，由此得特征根为，，。因此，基本解组为，，，所以通解为。3、求方程的通解，解对应齐次方程的特征方程为，即。特征根为，，因此齐次方程的通解为由于是单特征根，故已知非齐次方程有形如的特解。将它代入已知方程，并比较的同次幂系数，得，，，故。于是，可得通解为五、应用题（共10分）。用拉普拉斯变换求解初值问题：；，。解设是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换，可分别得到-6-故有而故所求的初值解为六、证明题

4、（共10分）。考察系统的零解的稳定性与渐解在上，初值为的解为其中对任一，取，则当时，有故该系统的零解是稳定。又因为可见该系统的零解是渐近稳定的。-6-