《常微分方程》a卷及答案new

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1、考生答题不得超此线安庆师范学院《常微分方程》A卷得　分一、判断题（8分，每题2分）1、阶常微分方程的通解包含了它的所有解。（）2、函数是微分方程的通解。（）3、阶线性齐次微分方程的个解在上线性无关的充要条件是。（）4、设为的基解矩阵，则为其基解矩阵存在阶常数矩阵，使。（）得　分二、选择题（10分，每题2分）1、微分方程是（）。A三阶非线性方程B三阶线性方程C四阶非线性方程D四阶线性方程2、下列方程中为齐次方程的是（）。ABCD3、阶齐次线性微分方程的所有解构成一个（）维线性空间。ABCD4、Lipschitz条件是一阶微分方程初值问题存在唯一解的（）条件。A充分条件B必要条件

2、C充分必要条件D既不是充分也不是必要条件5.方程的奇点的类型是（）。A结点B焦点C中心D鞍点得　分三、填空题（12分，每空2分）1、向量函数是线性方程组的基本解组的充要条件是：第7页共7页（1）；（2）。2、方程存在只与有关而与无关的积分因子的充分必要条件是。3、方程的奇解是。4、伯努利方程通过变量替换可化为线性方程。5、欧拉方程的通解为。得　分四、求下列方程的通解（40分，每题10分）(考生答题不得超过此线)1、2、3、4、得　分五、计算与证明题（30分，每题10分）1、试用皮卡逐步逼近法求方程通过点(1,0)的第二次近似解。2、已知方程的一个解为试求此方程的通解。3、设曲

3、线位于平面的第一象限内，上任一点M处的切线与轴总相交，交点记为，已知且过点，求的方程.第7页共7页安庆师范学院《常微分方程》A卷（本答案仅供参考，若有多种解法，则按相应标准酌情评分）一、判断题（8分，每题2分）1、错；2、错；3、对；4、错二、选择题（10分，每题2分）1、A；2、B；3、A；4、A；5、C三、填空题（12分，每空2分）1、（1）是方程组的解；（2）线性无关；2、；3、；4、；5、(其中为任意常数)四、求下列方程的通解（40分，每题10分）1、解：改写方程为:先求齐次线性方程的通解,分离变量得:----3分积分得通解为----5分再利用常数变易法求非齐次线性方

4、程的通解,令,代入得:,积分得----8分从而所求通解为(其中为任意常数).---10分2、解:由于，所以原方程是恰当方程--4分原方程可化为第7页共7页或---8分故原方程的通解为，其中为任意常数.---10分3、解：原方程化为：（2分）两边同除以“”得：即：(7分)化简得：（C为任意常数）故原方程的通解为：（10分）注：用其他方法解得正确结果给满分。4、解：特征方程为，即，所以特征根为，---3分对应特征向量应满足可确定出---6分同样可算出对应的特征向量为---8分所以，原方程组的通解为---10分五、计算与证明题（30分，每题10分）第7页共7页1、解:----3分-

5、---6分---10分2、解：将代入原方程得即.从而原方程化为,---4分对应齐次方程的特征值为，（二重）---6分所以原方程的通解为--10分3、设曲线L位于XOY平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与Y轴总相交，交点记为A，已知且L过点，求L的方程。解：设点M的坐标为（x,y）,则切线MA的方程为：（2分）令，则，故点A的坐标为：由，有；化简后得：（5分）令，得解得：即（8分）又所求曲线在第一象限，所以将代入，得C=3；所以曲线方程的解为：，（10分）第7页共7页.第7页共7页第7页共7页