常微分方程事体及答案new

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1、试卷代号:1076座位号rn中央广播电视大学2012…2013学年度第一学期"开鼓本科"期末考试〈半开卷〉常微分方程试题2013年1月!摇号I-I二l三

2、四!五!总分ll分数I.I一、单项选择耀(每小黯3分，本题共15分}1.积分方程y(x)=1十f:的(帅的眼()A.yB.y口eXC.yrez21>.y=2.方程中口3yi过点(0，0)的解().α二E儿只有一个B.只有两个C.有无数个立只有三三个3.方程斗;'i=,J1y2过点<0，的的解为y叮时，此解的最大存在旺向是().QXA.(一∞，十。0)B.[一旦旦]2'2C.(…∞，0J口.[0，十∞〉4.方程无十X=O

3、的任一非零解在Ct，。平面上()零点.A.无B.只有一个C.只有两个D.有无穷多个4325.已知方辑工俨十yFmz钉的一个持解为川，又对应齐次方程zypm卡jz嚣。有一个特解为lnx.则原方程剖通解为〈λ.A.YC1+Czlnx十XzB.y=C1X十Czlnx十Xz2十Czlnx十x2D.Y=C3+Czlnx十XzC.Y=C1X1X!得分

4、评卷人!-撞iii填空题{锋小题3分，2标题共15分}一辆时程苦口X町的所有常脚是7方程主÷户户扩的任…解的存在区问必是→…一8.向盘踊数钮Y1(川，Y2(x)，…，Y.(x)线性相关的条件是官11'1的期斯基行列式w(x)o.29.

5、二阶方程ý'+xy'+XY=0的等价方程组是(dxIdt=y10.平面系统斗的资点。(0，的的类型是→一…一一一-一IdyIdt=-x-y

6、持分

7、评卷入i豆、计算题{每小题8分，本题共40分}l求F列方程的通解或通辑分:11.~y=.dx';1-x212去十切问4x13叫什小吉)dy=O14.y口zj十yF2.15.yvm十1世O.433l得分i问人!四、计算题{本题共15分}!l16.求下列方程组的递解flliil生命句一出一一一一ZA十,qynou

8、.求证z方程号主x2f(siny)αz的任一解y=y(x)均在〈…∞，十∞〉上存在.434试卷代号:1076中央广播电视大学2012…2013学年度第…学期"开放本科"期末考试(半开卷}常微分方程试题答案及评分标准(供参考〉2013年1月…、单项选择题{每小题3分，本嚣共15分}l.D2.C3.B4.D5.A工、填空题{锋小噩3分，本踵共15分}6.Y苟且衔，是世0，士1，女2，…7.(一∞，十。0)8.必要IY世YI9.<:lYl'=…XYl…x2y10.稳定焦点三、计算题{锋小题8分，本题共40分}11.解当y笋1时，分离荣景积分，得r-Èι口r-主r十C(4分〉J

9、.;T工YJarcsiny口arcsinx个Cy=sin(arcsinx个C)(8分〉12.解对度的齐次方程学÷均=0伐军X2的通解为:y口Ce-(4分〉X2令非齐7x方程解为:y=C(x)e-{-t人展方程，得C〈drzezZ个CX2原方程递解为:yCe-个2(8分〉43513.解自为M(x，y)口2xy，N衍，y)x2一←飞yaM"aN-棚-=:二/.丁，..=榆-向"aydX所以，累方程是全微分方程.(3分〉取(xo'YO)口(0，日，原方程的通积分为--azgaιtzzdzori--JyIl-zy9hMZYEQZ÷d噎y一C(6分〉即x2y+卜c(8分〉14.解

10、克菜播方程，通解为2y=。十C(8分〉A"Ldρ15.解令y户，y=p巧f-t入方程，得仰r…卢dy(3分〉1L2_1积分，得~2p2=~y-2十C1r2叫丁1-zyP一…十C一(5分〉分离煌，积分得r，…吐rdx十C2.J-/1十Cy..J原方程的通积分为1+Cy2=(CxC3)2估分〉胃、计算题{本翻共15分}16.解特征方程为f一位一5=0,特征棋为ÀI口…1，À25,(5分〉À1一l和À25对应的特征商量分别为[~J·~l436故原方程组的递解为~]~C，仁]+~~e::，l(15分〉五、证黯黯{本黯共15分}17.证明由日知条件，方程在全平部上满足存在唯一性定

11、理及解的延展定理条件.(6分)由吕知条件容易证明1(0)=0.于是方程有无穷多个营数解y=古时，n=O，士1，士2，…，它们是平理上的一族平行直线(9分)设(xo，yo)是任一初始点，则朝应的辑程解y=y(x)的通数图镶或者是上述平好线中的一条，成是介于某两条平行线之闰.由解的唯一性如延展定理易知其存在区间为〈一∞，十白的.(15分)437