《常微分方程》答案_习题4.2new

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1、习题4.21.解下列方程（1）解：特征方程故通解为x=(2)解：特征方程有三重根故通解为x=（3）解：特征方程有三重根，2，-2故通解为（4）解：特征方程有复数根-1+3i,-1-3i故通解为(5)解：特征方程有复数根故通解为(6)解：特征方程有根a,-a当时，齐线性方程的通解为s=代入原方程解得故通解为s=-当a=0时,代入原方程解得故通解为s=-(7)解：特征方程有根2,两重根1齐线性方程的通解为x=又因为0不是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=-4-t(8)解：特征方程故齐线性方程的通解为x=取特解行如代入

2、原方程解得A=1，B=0,C=1故通解为x=+(9)解：特征方程有复数根故齐线性方程的通解为取特解行如代入原方程解得A=故通解为(10)解：特征方程有根-2,1故齐线性方程的通解为x=因为+-2i不是特征根取特解行如代入原方程解得A=故通解为x=（11）解：特征方程有复数根故齐线性方程的通解为1是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为+（12）解：特征方程有2重根-a当a=-1时，齐线性方程的通解为s=,1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解为s=,当a-1时，齐线性方程的通解为s=,1不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为s

3、=+（13）解：特征方程有根-1,-5故齐线性方程的通解为x=2不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为x=+（14）解：特征方程有根-1+i,-1-i故齐线性方程的通解为不是特征方程的根,取特解行如代入原方程解得A=故通解为+(15)解：特征方程有根i,-i故齐线性方程的通解为,i,是方程的解代入原方程解得A=B=0故代入原方程解得A=B=0故故通解为习题6-11．求出齐次线性微分方程组的通解，其中A（t）分别为：（1）；（2）；（3）。（1）方程组的分量形式为：，从后一式容易求出的通解为，其中K为任意常数，可分别取和，代入前一式得到两

4、个相应的特解，和这样就求得方程组的一个解矩阵为又。因此，是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1,方程的通解为①②（2）方程的分量形式为由①、②可和由观察法知，，为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：，。这样就求得方程组的一个解矩阵为又，因此中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为③②①（3）程组的分量形式为：解①+③得解①-③得解之得由④、⑤可得又由②得由此可求得方程组的一个解矩阵显然，，因此是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为3．试证向量函数组，，在任意区间上线性相关，则存在不全为零的三个常数使

5、得即①而①式之左端是一个不高于二次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与①式在上恒等于零矛盾，从而得证。4．试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组与有一个相同的基解矩阵，则证：设这两个方程组的相同基解矩阵为那么，必有,故可逆,设逆矩阵为,同而证毕6．设当时，非齐次线性方程组（1）中的不恒为零。证明（1）有且至多有n+1个线性无关解。证设是方程组（1）的相应齐次方程组的n个线性无关的解，是（1）任意一个特解，则是(1)的n+1个线性无关解.这是因为,若存在常数使得则一定有否则有这与为(1)的解矛盾，因此，假设可知故，所以（1）n+1个线

6、性无关的解。又设是（1）在(a,b)上的任一解，是（1）的n+1个线性无关的解，那么，是(1)的对应齐次方程组（2）的解，而（2）最多有n个线性无关的解，所以必存在不全为零的常数使得即显然，，否则，存在不全为零的常数使得这与线性无关矛盾，故这说明（1）的任一解，都可由这n+1个线性无关的解的线性表出，同时也说明（1）的任意n+2个解线性相关，故方程组（1）在（a，b）上至多有n+1个线性无关解。习题6—21．求出常系数齐次性微分方程组的通解，其中的矩阵A分别为1）2）3）4）5）解：1）特征方程即矩阵A有特征根，对应于所有的特征向量满足即。取，则

7、那么对应的实值解为；对应的特征向量满足即，取，则，那么对应的实值解为。于是该方程组的通解为2）特征方程为即矩阵A有特征根对应的特征向量应满足取，则即么对应的特解为由此得所对应的两个特解为（对2X2的方程组取一个特解的实部和虚部就可，因为虚根都是成对出现的。）它们在上线性无关，故得方程组的通解：3）即矩阵A有特征根，。对应于，特征向量应满足又（只能进行行变换）因此与相应的特征向量可取为，对于二重特征根，可以算出因此，方程有二个线性无关的解为，注意到，就可得到从而可行基解矩阵因此所求通解为，即4）特征方程即矩阵A有特征根：，，对应的特征向量应满足解之

8、得取则故相应的解为相应于的特征向量应满足取，，那么对应的复解为分别取实部，部可得方程组的两个实解,易知它们在上是线性无关的，于是方程组的