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1、常微分方程习题集华东师范大学数学系2003年9月常微分方程习题集目录第一章基本概念和初等解法1.1微分方程模型与基本概念1.2初等解法1.3基本理论问题第二章线性微分方程组2.1引论2.2一般理论2.3常系数线性微分方程组2.4高阶线性微分方程第三章定性和稳定性理论3.1基本概念3.2二阶系统的定性分析3.3一般非线性系统零解的稳定性习题1.11.指出下列常微分方程的阶数，并判断是否为线性：1)恙=4工2-y:答：i阶线性方程.ONdy„nnf�nnf答：p阶非线性方程.3)g+p⑷盖+咖y=/⑷答：二阶线性方程.,dy4)-—hcosy+X=0.d
2、工答：一阶非线性方程.2.什么是常微分方程的解？它与代数方程的解有什么区别？何谓微分方程的通解、特解？何谓初值问题？答：在某区间/上定义并且在区间/上恒满足某常微分方程的函数叫做该常微分方程在区间/上的一个解.代数方程的解是满足代数方程的函数或数.常微分方程的解与代数方程的解的主要区别是：常微分方程的解是在区间上定义的可微函数，它可以含有任意常数.而代数方程中不含对未知函数的求导运算.一个n阶常微分方程的含有n个独立的任意常数的解叫通解，通解不一定包含方程所有的解.不含有任意常数的解叫特解.求一个ri阶常微分方程的解，要使这个解及它的直到ri-1阶导
3、数在某一点取给定的一些值.这样的问题叫初值问题.3.验证函数y=2+cVr�(其中C为任意常数)是微分方程(1+=2x的通解，并求出满足初始条件y(0)=3的解.解：从函数方程解出C,得（y-22)/(1-x2)=c2，两边关于求导，得2[(1-x�)(y-2)dy/dx+(y-2)'�x/{l-=0,经整理得微分方程（1-;c2)dy/da;+rry=2a;.(注：一般的方法是将函数中的任意常数C解出，对0：求导后的微分方程就不含C了）再由初始条件：3=y(0)=2+C得C=1，满足初始条件的解是y=2+4.验证ey-e-=c(这里c为任意常数)
4、是否为方程，-“的通解.解：是.以expO表示指数函数.设由方程exp(y)-exp(x)=c决定了一个函数？/⑷，即exp(y(;c))-exp(x)=c,边对a;求导得，exp(y(x))dy/dx-exp(x)=0,整理后就得dy/da;=exp(a;-y),即含有一个任意常数C的隐函数exp(y)-exp⑷=C满足一阶微分方程，按yp々PXDI'7/)—PXDI'-Mr1甬5.已知平面曲线上任一点的切线在两坐标轴之间的部分都等于定长Z，试求出此平面曲线应满足的微分方程.解：设（X,y)为切线上的点，过切点(x,y)的切线方程为r-y=y'(X
5、-a;)，它与a:与y轴的交点分别为(jc—y/y'，0)与2)-�+2y—+3xy=0:d工(0,y-xy'),所以所求的方程为（a：-y/y〒+(y—xy'f=P.6.已知平面曲线上任一点的切线与该点和原点的连线之间的夹角均为常g«,试求出此平面曲线应满足的方程.一解：由题意，tan(arctany'—arctan(y/x))=tana=k,故由三角公式得所求方程为iy'-yM=Ki+yy'/x).7.求出曲线族Or-ci)2+{y-=4所满足的微分方程，其中Cl,C2,C3为任意常教.解：方程两边对求导一次得♦-Cl)+2(y-C2)y'=0
6、,再对a;求导一次得2+2y'2+2{y-C2)y〃，解出C2:C2=y+(1+对其关于T求导一次得所求的微分方程y'+[(1+y'�)/y"]'=0.8.一个容器盛盐的水溶液100升，净含盐10千克.现以每分钟3升的流量注入净水使盐水冲淡，同时以每分钟2升的流量让盐水流出.设容器中盐水的浓度在任何时刻都是均勾的，求出任意时刻t容器中净盐量所满足的微分方程和定解条件.解：设在t分钟时净盐量为⑴千克，定解条件为初始条件：x(0)=10(千克)，在时刻t(分)时，水溶液体积为（100+t)(升)，盐浓度为(千克/升)，按题意，净盐量变化率g这就是所求的微
7、分方程.9*.假设赛艇在水中运动时主要受到两个力的作用，即由于运动员划黎所产生的牵引力r和水的阻力D.记赛艇的速度为U.如果运动员和赛艇一起的总质量为m,运动员为赛艇提供的不变有Z■功率为P，阻力与〃2成正比，试建立赛艇速度的运动方程.提不：Tu=p.解：设D=kuk是比例系数，由牛顿第二定律得运动方程，mdu/dt=p/u—kv?.习题1.2常数变易公式：一阶线性非齐次方程cb/dt+p⑴0；=的一切解可以表示为洲=m{c+Jlq{s)/h{s)ds)其中h[t)是对应的线性齐次方程cLc/di+p(t);c=0的任一个确定的非零特解，可取h{t
8、)=exp(f-p(t)dt)中一个特定的函数.其中expO)=表示指数函数.C为任意常数.注意公式中的两个
