《常微分方程》答案 习题4.1

《《常微分方程》答案 习题4.1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、习题4.11.设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。证明：假设在，在区间上线形相关则存在不全为零的常数，，使得那么不妨设不为零，则有显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关2.证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程（1）（2）的解，则+是方程+的解。证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解则：（3）（4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。1.试验证0的基本解组为，并求方程的通解。证明：由题将代入方程0得：-=0,即是该方程的解，同理求得也是该方程的解又显然线形无关，故是0的基本解组。由题可设

2、所求通解为：，则有：解之得：故所求通解为：2.试验证0有基本解组t，，并求方程t-1的通解。解：由题将t代入方程0得：，即t为该方程的解同理也是该方程的解，又显然t，线形无关，故t，是方程0的基本解组由题可设所求通解为，则有：解之得：故所求通解为1.以知方程0的基本解组为，求此方程适合初始条件的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。解：时间方程0的基本解组，故存在常数使得：于是：令t=0,则有方程适合初始条件，于是有：解得：故又该方程适合初始条件，于是：解得：故显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：，而此方程同时满足初始条件，于是

3、：解得：故满足要求的解。2.设是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为，试证明满足一阶线形方程，因而有：解：又满足即则：即则有：即：1.假设是二阶齐线形方程（*）的解，这里在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：,其中为常数,　证：（１）（２）因为为方程的解，则由刘维尔公式两边都乘以则有：，于是：从而方程的通解可表示为：,其中为常数,。1.试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则：（1），均为（4.1）的解

4、。同时（1）是线形无关的。事实上：假设存在常数，使得：（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！从而有又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，故有：即（1）是线形无关的。