定积分的物理学应用.ppt

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1、定积分在物理学中的应用前面我们已经介绍了定积分在几何方面的应用，我们看到，在利用定积分解决几何上诸如平面图形的面积、旋转体的体积等问题时，关键在于写出所求量的微元定积分在物理方面的应用的关键也是如此，希望大家注意如何写出所求量的微元——微功、微压力、微引力等由物理学知道，如果一个物体在常力F作用下，使得物体沿力的方向作直线运动，物体有位移s时，力F对物体所作的功为：W=F*s这个公式只有在力F是不变的情况下才适用，但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的。下面我们来说明如何利用微元法来求变力所作的功。一、变力沿直线作功我们仍采用微元法，所求功对区间具有可加性。设变力是连续变化的，分割

2、区间，任取一小区间由的连续性，物体在这一小段路径上移动时，的变化很小，可近似看作是不变的，则变力在小段路径上所做的功可近似看作恒力做功问题，于是得功的微元为将微元从到求定积分，得整个区间所做的功【例10】将弹簧一端固定，另一端连一个小球，放在光滑面上，点为小球的平衡位置。若将小球从点拉到点，求克服弹性力所做的功。解如图所示，建立数轴，由物理学知道，弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比，方向指向平衡位置，即：xOM·其中k是比例常数，负号表示小球运动方向与弹性力F方向相反。若把小球从点拉到点克服弹性力F，所用外力的大小与F相等，但方向相反，即：，它随小球位置的变化而变化。在的变化区间[0，S

3、]上任取一小区间，则力所做功的微元于是功【例11】某空气压缩机，其活塞的面积为S，在等温压缩过程中，活塞由压缩到处，求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功？解如图所示建立数轴，由物理学知xOx2x1道，一定量的气体在等温条件下，压强与体积的乘积为常数，即由已知，体积是活塞面积S与任一点位置的乘积，即因此于是气体作用于活塞上的力活塞所用力则力所做功的微元于是所求功二、液体压力现有一面积为S的平板，水平置于比重为，深度为的液体中，则平板一侧所受的压力值：F=压强×面积如若将平板垂直于该液体中，对应不同的液体深度，压强值也不同，那么，平板所受压力应如何求解呢？Oaxx+dxby=f(x)xy如图所示建立

4、直角坐标系，设平板边缘曲线方程为则所求压力F对区间具有可加性，现用微元法来求解。在上任取一小区间，其对应的小横条上各点液面深度均近似看成，且液体对它的压力近似看成长为、宽为的小矩形所受的压力，即压力的微元为于是所求压力yOX+dx2m1mxx【例12】有一底面半径为1米，高为2米的圆柱形贮水桶，里面盛满水。求水对桶壁的压力。解如图所示建立直角坐标系,则积分变量的变化区间为[0，2]在其上任取一小区间，高为的小圆柱面所受压力值的近似值，即压力的微元为于是所求压力将牛顿/米3代入得牛顿【例13】有一半径米的圆形溢水洞，试求水位为3米时作用在闸板上的压力？解如果水位为3米，如图所示，xOx+dxxy

5、√y=R2-x2建立直角坐标系，积分变量的变化区间为，在其中任取一小区间，所对应的小窄条上所受压力的近似值，即压力微元将解取ox轴竖直向上xoRR+H地球半径设为R质量为M，由万有引力定律，即x=R时火箭所受的引力就是火箭的重力mg火箭所受地球的引力随火箭发射的高度x而变化当火箭在地面上代入上式为了发射火箭，必须克服地球引力，克服地球引力的外力F与f大小相等下面用微元法来求变力所作的功。取x为积分变量所须作的功为了使火箭脱离地球引力范围，也就是说要把火箭发射到无穷远处则动能为因此要使火箭脱离地球引力范围，须有代入上式得——第二宇宙速度这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭离开地面时的初速度为半径

6、为R，高为H的圆柱形贮水桶，盛满了水，问将水桶中的水全部吸出须作多少功？解这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地被吸到桶口的在区间[y,y+dy]上对应一小薄柱体该水柱重为将这一小水柱提到桶口所经过的距离例3将以上几例的解法一般化可得若一物体在变力F(x)的作用下，沿力的方向（ox轴）作直线运动，当物体由x=a移到x=b时，变力F(x)对物体所作的功为由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，其面积为A，距液面的深度为h，则该薄板的一侧所受的压力P等于液体的压强p与受力面积的乘积，而压强等于深度与比重的乘积

7、，于是但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算，需要采用微元法，利用定积分来计算。例4设半径为R的圆形水闸门，水面与闸顶平齐，求闸门一侧所受的压力。二、液体的侧压力取坐标系如图oxyy+dy2Ry奇函数偶函数四分之一圆面积x解边长为a,b的矩形薄板，与液面成角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深h处，设a>b液