2、比,与它们距离的平方成反比.作用力的方向沿着这两个点电荷的连线,同性电荷相斥,异性电荷相吸.例2.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强p与体积V成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气下页例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(KJ)设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3
3、m,下页面积为A的平板二、液体的侧压力设液体密度为深为h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••下页小窄条上各点的压强例4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解:建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为下页说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数下页三、引力问题质量分别为的质点,相距r,二者间的引力为大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.下页例5.设有一
4、长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故铅直分力元素为在试计算下页(利用对称性)棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为下页P363(20)说明:2)若考虑质点克服引力沿y轴从a处1)当细棒很长时,可视l为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b(a5、分解决.关于轴l的转动惯量为下页*四、转动惯量(补充)例6.(1)求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;(2)求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解:(1)建立坐标系如图.设圆盘面密度为.小圆环质量对应于的小圆环对轴l的转动惯量为故圆盘对轴l的转动惯量为设有一个半径为R,质量为M的均匀圆盘,下页平行y轴的细条关于y轴的转动惯量元素为细条质量故圆盘对y轴的转动惯量为(2)取旋转轴为y轴,建立坐标系如图.下页内容小结(1)先用元素法求出它的微分表达式dQ一般元素的几何形状有:扇,片,壳等.(2)然后用定积分来表示整体量Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间
6、上的整体量Q的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功;侧压力;引力;转动惯量等.条,段,环,带,下页作业:P2912;3;5;9;12(1999考研)思考与练习提示:作x轴如图.1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x提升dx所作的功可分为三部分:米重50N,下页提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米
7、重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至x处所需时间:克服抓斗自重:下页2.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:如图.在点O处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.下页同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为结束锐角取多大时,薄板所受的压力P最大.备用题斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解:选取坐标系如图.设斜边长为l,水中,并使一直角边与水面相齐,则其方程为问斜边与水面交成的下页故得唯一驻点故此唯一驻点即为所求.由实际意义可
8、知最大值存在,即结束
