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时间:2020-03-14
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1、全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短 经典例题透析类型一:由角平分线想到构造全等 不管轴对称图形还是两个图形轴对称,我们不难发现对应点与轴上一点(此点作为顶点)组成的角被轴平分,根据这一特点,在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到,以角平分线为轴构造对称(全等),从而把角、线段转移达到解题目的. 1.如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B与点D重合,折痕分别交AB、BC于点F、E.若AD=2,BC=8.求BE的长.
2、 图1 图2 解析: 由题意得 △BFE≌△DFE,∴BE=DE, 在△BDE中,ED=BE,∠DBE=45°, ∴∠BDE=∠DBE=45°, ∴∠DEB=90°,即DE⊥BC,在等腰梯形中,AD=2,BC=8, 过A作AG⊥BC,交BC于G,如图2,四边形AGED是矩形∴GE=AD=2, 在Rt△ABG和Rt△DCE中,AB=DC,AG=DE, ∴Rt△ABG≌Rt△DCE,∴BG=CE,∴,∴BE=5. 2.如图3,已知△ABC中
3、,AB=AC,∠B=2∠A 求证: 图3 图4 解析:如图4,作∠B的平分线交AC于D, 则∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A=∠C ∴AD=BD=BC 作BM⊥AC于M,则CM=DM. 3.如图5,已知梯形ABCD中,AB∥CD,AD>BC,求证:AC>BD 图5 图6 解析:如图6,作DE∥AC,DF∥BC,交BA或延长
4、线于点E、F, 四边形ACDE和四边形BCDF都是平行四边形. ∴DE=AC,DF=BC,AE=CD=BF 作DH⊥AB于H,根据勾股定理 ,, ∵AD>BC,AD>DF ∴AH>FH,EH>BH , ∴DE>BD, 即AC>BD. 4.如图7,已知△ABC中,AD⊥BC,AB+CD=AC+BD.求证:AB=AC. 图7 解析:设AB、AC、BD、,CD分别为b、c、m、n, 则c+n=b
5、+m,c-b=m-n,∵AD⊥BC,根据勾股定理,得 , ∴, , ∵c+b>m+n, ∴c-b=0即c=b, ∴AB=AC.类型二:勾股定理的逆定理的运用 5.如图8,P是正△ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A旋转后,得到,则点P与点之间的距离为________,∠APB=________. 图8 图9 解析:如图9,连结,是由旋转得到的,所以≌ 所以..
6、 所以三角形是等边三角形,. 则在三角形中. 所以是直角,. 6.如图10,已知∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证:. 图10 图11 解析:如图11,显然△ADC是等边三角形,以BC为边向右侧作等边三角形,则BC=BE, 连接AE,则可证明△BCD≌△ACE,所以AE=DB,∠ABC+∠CBE=90°, 根据勾股定理有,即. 7.如图12,D为等腰△ABC的腰AB上的一点,E为另一腰AC延长线上的一点,且BD=CE,则
7、A.DE=BC B.DE>BC C.DE<BC D.DE与BC大小关系决定于∠A的大小. 图12 图13 解析:如图13,分别过D和E点作到BC边的垂线,交BC及其延长线于G和H.则 根据,可得到△BDG≌△ECH.所以BG=CH. 所以BC=GH.显然DE>GH.所以DE>BC. 8.如图14,已知等边△ABC内有一点N,ND⊥BC,NE⊥AB,NF⊥AC,D、E、F都是垂足,M是△ABC中异于N的另一点,若,,那么与的大小关系是______
8、__. 图14 图15 解析:如图15,作M到正三角形的各边上的高,根
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