多元正态分布.doc

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1、第二章多元正态分布多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵，在介绍正态分布之前，先论述有关随机向量的基本概念。为了便于理解概念和性质，借助复习一元统计分析中有关概念和性质，自然推广给出多元统计分析中相应的概念和性质。§2.1基本概念1随机向量的概率分布对许多社会经济现象进行认识和研究时，往往涉及多个随机变量。一般说来，这些随机变量之间又有某种联系，因而需要把这些随机变量作为一个整体（即向量）来研究。定义1将p个随机变量的整体称为p维随机向量，记为。在多元统计分析中，仍然将所研究对象的全体称为总体，它是由许多（有限或无限）的个体构

2、成的集合，如果构成总体的个体是具有p个需要观测指标的个体，我们称这样的总体为p维总体（或p元总体）。由于从p维总体中随机抽取一个个体，其p个指标观测值是不能事先精确知道的，它依赖于被抽到的个体，因此p维总体可用一个p维随机向量来表示。这种表示便于人们用数学方法去研究p维总体的特性。这里“维”（或“元”）的概念，表示共有几个分量，例如要研究某类企业的三项经济效益指标，则所有这类企业的三项经济效益指标就构成一个三元总体。如果三项指标分别用表示，则三元总体就用三维随机向量来表示，对随机向量的研究仍然限于讨论离散型和连续型两类随机向量。先回顾一下一元统计中分布函数

3、和密度函数定义。设X是一个随机变量，称为的概率分布函数或简称为分布函数，记为。若随机变量在有限或可列个值上取值，记，且则称X为离散型随机变量，并称为X的概率分布。设，若存在一个非负函数，使得对一切实数x有：则称X为连续型随机变量，称为X的分布密度函数，简称为密度函数。一个函数能作为某个随机变量X的分布密度函数的重要条件是：（1），对一切实数x；（2）。定义2设是维随机向量，它的多元分布函数定义为：记为，其中，表示p维欧氏空间。多维随机向量的统计特性可用它的分布函数来完整地描述。定义3设是p维随机向量，若存在有限个或可列个p维数向量记且满足，则称X为离散型随

4、机向量，称为X概率分布。设，若存在一个非负函数，使得对一切有则称X为连续型随机向量，称为分布密度函数，简称为密度函数或分布密度。一个p元函数能作为中某个随机向量的密度函数的主要条件是：（1）；（2）。离散型随机向量的统计性质可由它的概率分布完全确定，连续型随机向量的统计性质可由它的分布密度完全确定。例1试证函数：为随机向量的密度函数。证：只要验证满足密度函数两个条件即可：（1）显然，有（2）定义4设是维随机向量，称由它的个分量组成的子向量的分布为X的边缘（或边际）分布，相对地把X的分布称为联合分布。通过交换X中各分量的次序，总可假定正好是X的前q个分量，其

5、余个分量为，即，相应的取值也可分为两部分。当X的分布函数是时，的分布函数即边缘分布函数为：  当X有分布密度时（亦称联合分布密度函数），则也有分布密度，即边缘密度函数为：例2对例1中的求边缘密度函数。解：同理定义5若p个随机变量的联合分布等于各自的边缘分布的乘积，则称是相互独立的。例3问例2中的与是否相互独立？解：，故与相互独立。需要注意的是：由相互独立，可推知任何与独立，但反之不真。2随机向量的数字特征定义6设，若存在且有限，则称为X的均值（向量）或数学期望，有时也把和分别记为和，即，容易推得均值（向量）具有以下性质：（1）（2）（3）其中X、Y为随机向

6、量，A、B为大小适合运算的常数矩阵。定义7设，称为X的方差或协差阵，有时把简记为，简记为，从而有；称随机向量X和Y的协差阵为：当X=Y时，即为D(X)。若的协差阵存在，且每个分量的方差大于零，则称随机向量X的相关阵为，其中为相关系数。设标准离差阵则有即这说明从可得到R，也可从和R得到，且由，可知例4设则可得从而可得相关阵为：   若，则称X和Y不相关，由X和Y相互独立易推得，即X和Y不相关，但反过来，当X和Y不相关时，一般不能推知它们独立。容易推得协差阵有以下性质：（1），即X的协差阵是非负定阵。（2）对于常数向量a，有。（3）设A为常数矩阵，则。（4）。

7、其中a，A，B为大小适合运算的常数向量和矩阵。§2.2多元正态分布的定义及基本性质多元正态分布在多元统计分析中所占的重要地位，如同一元统计分析中一元正态分布所占的重要地位一样，多元统计分析中的许多重要理论和方法都是直接或间接建立在正态分布的基础上，多元正态分布是多元统计分析的基础。此外，在实用中遇到的随机向量常常是服从正态分布或近似正态分布。因此现实世界中许多实际问题的解决办法都是以总体服从正态分布或近似正态分布为前提的。1多元正态分布的定义多元正态分布有多种定义方法，下面给出常用的三种等价定义（另两种定义在附注中给出）。定义8若p维随机向量的密度函数为：

8、其中，是p维向量，是p阶正定阵，则称X服从p元正态分布，也称X为p