多元正态分布(新)

《多元正态分布(新)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、多元正态分布及其参数估计多元正态分布的重要性：（1）多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接地建立在正态分布基础上的，许多统计量的极限分布往往和正态分布有关。（2）许多实际问题涉及的随机向量服从多元正态分布或近似服从正态分布。因此多元正态分布是多元统计分析的基础。一、多元正态分布的定义定义1：若p维随机向量的密度函数为：其中，是p维向量是p阶正定矩阵，则称X服从p维正态分布，记为§1多元正态分布的定义及其性质定义2：独立标准正态变量的有限线性组合称为p维正态随机变量，记为其中但是的分解一般不是唯一的。定义3：若随机向量X的特征函数为

2、：其中t为实向量，则称X服从p元正态分布。特征函数定义的优点在于可以包含的情况。特别地，二元正态分布：二元正态分布曲面()二元正态分布曲面()即，两个随机变量独立而可以求得的边缘密度函数为：当时X1与X2不相关，对于正态分布来说不相关和独立等价。因为此时：为X1和X2的相关系数。二、多元正态分布的性质性质1：若，是对角矩阵，则相互独立。性质2：若则性质3：若，将作剖分：则性质4：p元正态分布的条件分布仍服从正态分布。即在某些变量取固定值时，另外一些变量的分布仍然服从多元正态分布。三、正态分布数据的变换若一批多元数据不满足正态分布时，可以对数

3、据进行正态变换。一般来说常采用幂变换，如果想使值变小可以采用变换：如果想使值变大，则采用变换：不管使用哪种幂变换，还应该对变换后的数据的正态性做检验.§2多元正态分布的参数估计一、多元样本及其样本数字特征１．多元样本阵记2、多元样本的数字特征样本均值：样本均值向量可以用样本矩阵表示出来，即因为：样本离差阵样本协方差矩阵或样本离差阵用样本资料阵表示为：因为二、多元正态总体的最大似然估计及其性质利用最大似然法求出和的最大似然估计为：求解过程似然函数为：对数似然函数为：（引理：设A为p阶正定矩阵，则当A=I等号成立。最大似然估计的性质，即是的无偏

4、估计。，即不是的无偏估计。，即是无偏估计。分别是的最小方差无偏估量。3.分别是的一致估计。三、维斯特（Wishart）分布---一元分布的推广定义：设个随机向量独立同分布于，则随机矩阵服从自由度为n的非中心维斯特分布，记为随机矩阵的分布：将该矩阵的列向量（或行向量）连接起来组成的长向量称为拉直向量，拉直向量的分布定义为该矩阵的分布，如果是对称矩阵则只取其下三角的部分拉直即可。性质：（1）若W1和W2独立，其分布分别为和，则分布为，即维斯特(Wishart)分布有可加性。（2），C为m×p阶的矩阵，则的分布为定理：设分别是来自正态总体的样本均

5、值和离差阵，则(1)(2)相互独立。S为正定矩阵的充分必要条件是n>p。11一元正态总体：为来自一元正态总体的一组样本定理：证明：构造正交矩阵做变换第三章多元正态总体参数的假设检验一、HotellingT2分布—一元t分布的推广定义设，且X与S相互独立，，则称统计量的分布为非中心的HotellingT２分布，记为，当时称为中心的HotellingT2分布。记为一元t分布：设总体是一组样本,则统计量其中与类似并且定理：设且X与S相互独立，令基本性质:则二、多元正态总体均值向量的假设检验1.单个正态总体(1)协方差矩阵已知时均值向量的检验检验统

6、计量设水平为，查表确定，使得（当H0成立时）拒绝域为：当原假设成立时(2)协方差矩阵未知时均值向量的检验检验统计量拒绝域为：例：人的出汗多少于人体内钾和钠的含量有一定的关系。测得20名健康成年女性的出汗多少（X1）、钠的含量(X2)和钾的含量（X3）的数据，做如下的假设检验：例：在企业市场结构研究中，起关键作用的指标有市场份额X1，企业规模（资产净值总额的对数）X2，资本收益率X3,总收益增长率X4.为了研究市场结构的变动Shepherd（1972）抽取了美国231个大型企业，调查了这些企业1960-1969年的资料。假设以前企业市场结构指

7、标的均值向量为：而该次调查得到的企业市场结构指标的均值向量和协方差矩阵为：试问市场结构是否发生了变化？带入到T2统计量中得到临界值因此拒绝原假设，认为市场结构已经发生了显著的变化。2.协方差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验设且两组样本相互独立。（1）有共同已知的协方差矩阵检验统计量为：拒绝域为：（2）有共同的未知协方差矩阵检验统计量为：用代替∑即可得到上述统计量。例：为了研究日美企业在华投资企业对中国经营环境的评价是否存在差异，现从两国在华投资企业中各抽出10家，让其对如下指标进行打分。假设两组来自正态总体，有共同的未知协方差矩阵，且两

8、组样本相互独立。经计算代入统计量中得：查F分布表得：显然有：故拒绝原假设，认为日、美两国在华投资企业对中国经营环境的评价存在差别。3.协方差阵不相等时，两个正态总体均值向量的检验