多元正态分布.ppt

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1、第一章多元正态分布及其参数估计多元正态分布的重要性：（1）多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接地建立在正态分布基础上的，许多统计量的极限分布往往和正态分布有关。（2）许多实际问题涉及的随机向量服从多元正态分布或近似服从正态分布。因此多元正态分布是多元统计分析的基础。一、多元正态分布的定义定义1：若p维随机向量的密度函数为：其中，是p维向量是p阶正定矩阵，则称X服从p维正态分布，记为定义2：独立标准正态变量的有限线性组合称为m维正态随机变量，记为其中但是的分解一般不是唯一的。定义3：若随机向量X的特征函数为：其中t为实向量，则称X

2、服从p元正态分布。特征函数定义的优点在于可以包含的情况。二元正态分布曲面(11=1,22=1,12=0)二元正态分布曲面(11=2,22=4,12=0.75)二、多元正态分布的性质性质1：若，是对角矩阵，则相互独立。性质2：若则性质3：若，将作剖分：则特别地，二元正态分布：的边缘密度函数为：当时X1与X2不相关，对于正态分布来说不相关和独立等价。因为：为X1和X2的相关系数。三、正态分布数据的变换若一批多元数据不满足正态分布时，一般要对数据进行正态变换。一般来说常采用幂变换，如果想使值变小可以采用变换：如果想使值变大，则采用变换

3、：不管使用哪种幂变换，还应该对变换后的数据的正态性做检验（如Q-Q图方法）§2多元正态分布的参数估计一、多元样本及其样本数字特征１．多元样本记2、多元样本的数字特征样本均值样本离差阵样本协方差矩阵或二、多元正态总体的最大似然估计及其性质利用最大似然法求出和的最大似然估计为：求解过程似然函数为：对数似然函数为：（引理：设A为p阶正定矩阵，则当A=I等号成立。最大似然估计的性质，即是的无偏估计。，即不是的无偏估计。，即是无偏估计。分别是的最小方差无偏估量。3.分别是的一致估计。维斯特（Wishart）分布---一元分布的推广定义：设个随机向量独

4、立同分布于，则随机矩阵服从自由度为n的非中心维斯特分布，记为三、正态总体下的抽样分布随机矩阵的分布：将该矩阵的列向量（或行向量）连接起来组成的长向量称为拉直向量，拉直向量的分布定义为该矩阵的分布，如果是对称矩阵则只取其下三角的部分拉直即可。性质：（1）若W1和W2独立，其分布分别和，则分布为，即维斯特(Wishart)分布有可加性。（2），C为m×p阶的矩阵，则的分布为分布。定理：设分别是来自正态总体的样本均值和离差阵，则(1)(2)相互独立。S为正定矩阵的充分必要条件是n>p。11一元正态总体：为来自一元正态总体的一组样本定理：证明：构造

5、正交矩阵做变换第三章多元正态总体参数的假设检验HotellingT2分布—一元t分布的推广定义设，且X与S相互独立，，则称统计量的分布为非中心的HotellingT２分布，记为，当时称为中心的HotellingT2分布。记为一元t分布：设总体是一组样本,则统计量其中与类似并且基本性质:定理：设且X与S相互独立，令则一、多元正态总体均值向量的假设检验1.单个正态总体(1)协方差矩阵已知时均值向量的检验检验统计量设水平为，查表确定，使得（当H0成立时）拒绝域为：当原假设成立时(2)协方差矩阵未知时均值向量的检验检验统计量拒绝域为：2.协方差阵相

6、等时，两个正态总体均值向量的检验3.协方差阵不相等时，两个正态总体均值向量的检验一元方差分析一、方差分析的概念及有关术语方差分析研究的是分类型自变量对数值型因变量的影响，包括它们之间有没有关系、关系的强度如何等，所采用的方法就是检验各个总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。例子：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。每个行业中所抽取的样本在服务对象、服务内容、企业规模等基本上是相同的，统计出消费者对23家企业的投诉次数，现判断几个行业的服务

7、质量是否有差别。投诉次数如下表：4.多个正态总体均值向量的检验（多元方差分析）要分析4个行业的服务质量是否有显著差异，实际上就是判断“行业”对投诉次数是否有显著影响，做出这种判断最终归结为检验4个行业被投诉次数的均值是否相等。如果相等则认为行业因素对投诉次数是没有影响的，如果均值不全相等，则意味着行业因素对服务质量有影响。方差分析主要用来对多个总体均值是否相等作出假设检验。相关术语因素（因子）：在方差分析中，所要检验的对象称为因素或因子。例子中的“行业”水平：因素中的不同表现成为水平。例子中的零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是“行业”因

8、素的具体表现，即水平。单因素方差分析：只针对一个因素进行分析；多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。（1）每个总体的相应变量（因素的各个水平）服从正态分布。也就是说，对于因素