多元正态分布

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1、第二章多元正态分布§2.1多元正态分布的定义§2.2多元正态分布的性质§2.3复相关系数和偏相关系数§2.4极大似然估计及估计量的性质§2.5X和(n−1)S的抽样分布§2.1多元正态分布的定义一元正态分布N(μ,σ2)的概率密度函数为：2x12fxe22122212112expxx,x2若随机向量X(XX,,,X)的概率密度函数为12pp21211fx2ΣexpxμΣxμ2则称X服从p元正态分布，记作X

2、~N(μ,Σ)，其中，参数μp和Σ分别为X的均值和协差阵。例1（二元正态分布）设X~N(μ,Σ)，这里22X11112X,,μΣ2X22122易见，ρ是X1和X2的相关系数。当

3、ρ

4、<1时，可得X的概率密度函数为：1fxx12,22112221xxxx11112222exp22211122二元正态分布的密度曲面图22下图是当,.0

5、75时二元正态分布的钟形密12度曲面图。二元正态分布等高线等高（椭圆）线：22x11x11x22x2222c1122上述等高线上的密度值21cfxx12,exp22122112二元正态分布的密度等高线族（由10000个二维随机数生成）4002yy0-2

6、ρ

7、越大，长轴越长-202，短轴越短，即椭圆越扁平；-2024xx

8、ρ

9、越小，长轴越短，短轴越长，即椭圆越圆；

10、ρ

11、=1时椭圆退化为一条线段；

12、ρ

13、=0时即为圆。

14、§2.2多元正态分布的性质（1）多元正态分布的特征函数是：'1''()texp(ittt),AA.X2（2）设X是一个p维随机向量，则X服从多元正态分布，当且仅当它的任何线性函数aX均服从一元正态分布。性质（2）常可用来证明随机向量服从多元正态分布。（3）设X~N(μ,Σ)，Y=CX+b其中C为r×p常数矩阵，p则YNCrμbC,ΣC该性质表明，（多元）正态变量的任何线性变换仍为（多元）正态变量。§2.2多元正态分布的性质（4）设X~N(μ,Σ)，则X的任何子向量也服从（多元）p正态分布，其均值为μ的相应子向量，

15、协方差矩阵为Σ的相应子矩阵。该性质说明了多元正态分布的任何边缘分布仍为（多元）正态分布。需注意，随机向量的任何边缘分布皆为（多元）正态分布未必表明该随机向量就服从多元正态分布。22xx112fxx(,)e2(1sinxsinx)xx,R1212122§2.2多元正态分布的性质正态变量的线性组合未必就是正态变量。证明:反证法。若命题“一元正态变量X,X,⋯,X12n的一切线性组合一定是一元正态变量”成立，则由性质（2）知，X,X,⋯,X的联合分布必为多元正态12n分布，于是命题“一元正态变量的联合分布必为多元正态分布”成立，从

16、而矛盾。例2若X(XXX,,)~N(,)μΣ1233其中，111121322122233313233100设a(0,1,0)，A，则001（1）X1aX(0,1,0)XX~Na(μ,aaΣ)22X3其中1aμ(0,1,0)2231112130aaΣ(0,1,0)1212223220313233（2）X1100

17、X1AXXN~(Aμ,AΣA)2001X3X3其中11001Aμ001233111213101001113AΣA00212223001313301313233（3）X1(1)1(1)XμX22记Xμ(2)(2)XμX3311

18、1213Σ11Σ12Σ212223Σ2122313233则X(1)1(1)X~N(μ,Σ)211X2其中(1)1