矩阵与多元正态分布

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1、多元统计分析的理论基础一、矩阵二、多元正态分布一、矩阵基础知识矩阵形式和定义矩阵运算矩阵行列式逆矩阵特征值和特征向量一、矩阵形式及定义x11x12x1pxxxN×p阶矩阵：X21222pxN1xN2xNpv如果矩阵的行数等于列数即n=p，则该矩阵为方阵。v如果矩阵仅有1列，则该矩阵为列向量.xr1xxr2rxrpv如果矩阵仅有1列，则该矩阵为行向量。'xrxr1xr2xrpv转置矩阵（TransposeofaMatrix）：将矩阵的行和列交换。X、A、B的

2、转置矩阵：x11x21xN1xxx859075859276X1222N2AB808063838566x1Px2PxNpv例：给定一个矩阵A，矩阵A的转置矩阵是？？其他特殊矩阵形式和定义：v零矩阵:矩阵中所有元素为零。000000000v对角矩阵：除开主对角线上的元素外，其他元素皆为零的方阵。100020005v对称矩阵—矩阵的转置和它本身相等的方阵。或主对角线外的元素关于主对角线对称。v单位矩阵：主对角线上元素皆为1的对角

3、矩阵。v逆矩阵：对于一个方阵A，若有方阵B使得AB=BA=I。则方阵B则为方阵A的逆矩阵（或称方阵A则为方阵B的逆矩阵）。v矩阵的迹：方阵主对角线上元素之和。（注意：仅适用于方阵）例：给定一个矩阵A，求矩阵A的迹？tr(A)=a+b二、矩阵运算v1、矩阵加法和减法例：只有当两个矩阵同行数、同列数时，才能相加减。续例1：欲求每人、每科两次考试的总分数，即把两个矩阵的对应元素相加。v2、矩阵乘法（1）数乘运算：续例1：求每人每科两次考试的平均成绩v（2）矩阵与矩阵相乘:两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数v（3）矩阵乘法的代

4、数式•ABBA•AB不等于BA.•AB=0并不意味着A=0orB=0•若A=0orB=0则AB=0.三、矩阵行列式和逆矩阵pXx.Xv矩阵行列式:矩阵X的行列X式1j1jj11j1j1j为X1j(1)XX。其中，为除开第1行第j列元素后余下的矩阵行列式。x11x12x1pxxx21222pXxp1xp2xpp只有方阵才有行列式v例:62X的行列式X??231112X632214X6(1)32(1)218414621v例：

5、X234的行列式X＝？？148342423111213X6(1)2(1)1(1)4818146(3844)2(2841)1(2431)4824529v逆矩阵：对于一个方阵A，若有方阵B使得AB=BA=I。则方阵B则为方阵A的逆矩阵（或称方阵A则为方阵B的逆矩阵）•如果方阵的行列式等于0，则该方阵无逆矩阵•如果方阵的行列式等于0，则称该方阵为奇异矩阵；否则，为非奇异矩阵•如果A的逆矩阵等于其转置矩阵，则称矩阵A正交v二阶逆矩阵运算：v例：只有方阵才有特征值三、特

6、征值与特征向量v若A为nn阶方阵，I为nn阶单位阵。若算式成立，则将＝称为方阵A的特征值。v方程称为特征方程。v如果C为非零向量，有AC=C或(AI)C0则C称为方阵A的特征值对应的特征向量注意：方阵A的特征值之和等于方阵A的迹例：先用7代替特征方程左端行列式中的λ3－7542－7v例：求出以下方阵的特征值和特征根二、多元正态分布多元分布函数及密度函数（见定义1.2；1.3）o例：口袋中有2白球3黑球,有放回取两次，每次任取一球.设X为第一次得白球数,Y为第二次得白球数。o求(X,Y)的联合分布和边际分布。o例：益寿宁的降血

7、脂效果o求均值向量和协方差阵、相关系数矩阵相关系数矩阵＝？？o例：在一项实验中，测得大豆的周龄x(以周计)和平均高度y(厘米)的数据如下：o求两变量的协方差阵和相关系数阵。Ø（二）多元正态分布v1、定义（见书定义1.5）v2、性质•每一个变量均服从正态分布•变量的线性组合服从正态分布•m元正态分布中的任意k个变量服从k元正态分布•m元正态分布的条件分布仍服从正态分布v3、条件分布和独立性（见书P13）Ø（三）统计距离和马氏距离**v1、欧氏距离（直线距离）•定义•缺陷•标准化处理的必要v例：横轴x1代表重量（单位：kg),纵轴x2代表长度

8、（单位：cm)。有四个点A,B,C,D,见图。x210C22AB5101255CD10212101ADBx11510若x用mm作单位，x单位不变，则A坐标为（0，50），21C坐标