多元正态分布1

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1、第一章多元正态分布目录上页下页返回结束§1.1多元分布的基本概念§1.2统计距离和马氏距离§1.3多元正态分布§1.4均值向量和协方差阵的估计§1.5常用分布及抽样分布2021/10/81中国人民大学六西格玛质量管理研究中心第一章多元正态分布一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有着重要的地位。同样，在多变量统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。原因是：许多随机向量确实遵从正态分布，或近似遵从正态分布；对于多元正态分布，已有一整套统计推断方法，并且得到了许多完整的结果。目录上页下页返回结束2021/10/82中国人民大学六西格玛质量管理研究中心第一章多

2、元正态分布多元正态分布是最常用的一种多元概率分布。除此之外，还有多元对数正态分布，多项式分布，多元超几何分布，多元分布、多元分布、多元指数分布等。本章从多维变量及多元分布的基本概念开始，着重介绍多元正态分布的定义及一些重要性质。目录上页下页返回结束2021/10/83中国人民大学六西格玛质量管理研究中心§1.1多元分布的基本概念目录上页下页返回结束§1.1.1随机向量§1.1.2分布函数与密度函数§1.1.3多元变量的独立性§1.1.4随机向量的数字特征2021/10/84中国人民大学六西格玛质量管理研究中心§1.1.1随机向量表示对同一个体观测的个变量。若观

3、测了个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个体的个变量为一个样品，而全体个样品形成一个样本。假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时观测个指标（即变量），又进行了次观测得到的，把这个指标表示为常用向量目录上页下页返回结束2021/10/85中国人民大学六西格玛质量管理研究中心横看表1-1，记，它表示第个样品的观测值。竖看表1-1,第列的元素表示对第个变量的n次观测数值。下面为表1-1…n…2…1…变量序号目录上页下页返回结束§1.1.1随机向量2021/10/86中国人民大学六西格玛质量管理研究中心因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:定义1.1

4、设为个随机变量，由它们组成的向量称为随机向量。目录上页下页返回结束§1.1.1随机向量若无特别说明，本书所称向量均指列向量2021/10/87中国人民大学六西格玛质量管理研究中心定义1.2设是一随机向量，它的多元分布函数是式中，，并记成。§1.1.2分布函数与密度函数描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述随机向量的最基本工具还是分布函数。目录上页下页返回结束多元分布函数的有关性质此处从略。2021/10/88中国人民大学六西格玛质量管理研究中心§1.1.2分布函数与密度函数目录上页下页返回结束定义1.3：设=,若存在一个非负的函数,使得对一切成立，则称

5、（或）有分布密度并称为连续型随机向量。一个维变量的函数能作为中某个随机向量的分布密度，当且仅当2021/10/89中国人民大学六西格玛质量管理研究中心§1.1.3多元变量的独立性目录上页下页返回结束对一切成立。若为的联合分布函数，分别为和的分布函数，则与独立当且仅当（1.4）定义1.4：两个随机向量和称为是相互独立的，若注意:在上述定义中，和的维数一般是不同的。若有密度，用分别表示和的分布密度，则和独立当且仅当(1.5)2021/10/810中国人民大学六西格玛质量管理研究中心§1.1.4随机向量的数字特征是一个维向量，称为均值向量.目录上页下页返回结束当为常

6、数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：1、随机向量的均值设有个分量。若存在，定义随机向量的均值为)(ûëûëéPPm)()6.1)()((2121μX=úúúúùêêêêé=úúúúùêêêê=XEXEXEEmm2021/10/811中国人民大学六西格玛质量管理研究中心§1.1.4随机向量的数字特征目录上页下页返回结束2、随机向量自协方差阵称它为维随机向量的协方差阵，简称为的协方差阵。称为的广义方差，它是协差阵的行列式之值。2021/10/812中国人民大学六西格玛质量管理研究中心目录上页下页返回结束§1.1.4随机向量的数字特征3、随机向量X和Y的协差阵设分别

7、为维和维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个矩阵，其元素是，即当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：2021/10/813中国人民大学六西格玛质量管理研究中心目录上页下页返回结束§1.1.4随机向量的数字特征（3）设X为维随机向量，期望和协方差存在记则对于任何随机向量来说，其协差阵∑都是对称阵，同时总是非负定（也称半正定）的。大多数情形下是正定的。2021/10/814中国人民大学六西格玛质量管理研究中心目录上页下页返回结束§1.1.4随机向量的数字特征4、随机向量X的相关阵若随机向量的协差阵存在,且每个分量的方差大于零，则X的相关阵定义为:也

8、称为分量与之间的（线性）相关系数。20