向量的概念与性质.doc

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1、一．向量的概念与性质一．知识点1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而

2、

3、＞

4、

5、才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（）,其中、满足＝1（可用（cos,sin）（

6、0≤≤2π）表示）.⑸零向量的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.(平行四边形法则：起点相同，三角形法则：首尾相连)①当两个向量和不共线时，的方向与、都不相同，且

7、

8、＜

9、

10、＋

11、

12、；②当两个向量和共线且同向时，、、的方向都相同，且；③当向量和反向时，若

13、

14、＞

15、

16、，与方向相同，且

17、

18、=

19、

20、-

21、

22、；若

23、

24、＜

25、

26、时,与方向相同，且

27、＋

28、=

29、

30、-

31、

32、.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算

33、.（三角形法则：起点相同，减向量重点指向被减向量的终点）⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.如，,（在△ABC中）.(□ABCD中)⑷判定两向量共线的注意事项如果两个非零向量，，使=λ（λ∈R），那么∥；反之，如∥，且≠0，那么=λ.这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行.（4）向量的数乘运算的定义：数乘运算模的大小为：（6）数量积的8个重要性质（）①两向量的夹角为0≤≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.②设

34、、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，则③（∵=90°，④在实数运算中=0=0或b=0.而在向量运算中==或=是错误的，故或是=0的充分而不必要条件.⑤当与同向时=(=0,cos=1);当与反向时，=-(=π,cos=-1)，即∥的另一个充要条件是.特殊情况有=.或===.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,),(,),则=⑥。（因）⑦数量积不适合乘法结合律.如（因为与共线，而与共线）⑧数量积的消去律不成立.若、、是非零向量且并不能得到这是因为向量不能作除数，即是无意义的.二．课堂训练1．下列各式计算正确的有（）(1)(－7)6a=-42

35、a(2)7(a+b)－8b=7a+15b(3)a－2b+a+2b=2a(4)若a=m+n,b=4m+4n,则a∥bA．1个B．2个C．3个D．4个2．化简的结果是（）A．B．C．D．3．下列各式叙述不正确的是（）A．若a≠λb,则a、b不共线(λ∈R)B．b=3a(a为非零向量),则a、b共线C．若m=3a+4b,n=a+2b,则m∥nD．若a+b+c=0,则a+b=-c4．对于菱形ABCD，给出下列各式：①②③④2其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知向量反向，下列等式中成立的是（）A．B．C．D．6．在△ABC中,

36、AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（）A．与共线B．与共线C．与相等D．与相等 7．已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于()A．3B．－3C．0D．28．已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则

37、a+b+c

38、等于（）A．0B．3C．D．29.已知、是非零向量且满足，则与的夹角是（）A．B．C．D．10.若非零向量互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）A．B．C．D．11．已知菱形ABCD的边长为2,求向量－+的模的长.__________________

39、___。12．已知的夹角为120°，且，，当时，k=.二．向量的坐标形式一．知识点若则特别地：若，则=若，则=二．课堂训练1.已知2.设3.设点（1）当时，点在第一、三象限角平分线上；（2）当时，点在第四象限.4.已知向量5.设向量，则的取值范围为6.已知向量=7.已知向量，根据下列情形求：（1）若_________________________（2）若._________________________8.已知向量=9.设向量=10.在，则的面积为11.平面内给定三个向量（1）求；（2）求满足的实数；（3）若；（4）设12.设向量（1）试计算；（2）

40、求向量夹角的大小.单元测试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分