向量的概念与运算

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1、向量的概念与运算　　本周教学内容：　　1.向量的概念；　　2.向量的运算(加法、减法、数乘).　　学习要求：　　1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；　　2.掌握向量的加法与减法；　　3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；　　4.了解平面向量的基本定理.　　教学重难点：　　1.向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；　　2.对向量的加法和减法的定义的理解；　　3.实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件.　　知识要点：　　一、向量的概念　　1.向量的基本概念：

2、　　向量：既有大小、又有方向的量.　　向量的二要素：大小、方向.　　有些向量与起点有关，如位移、力等，有些向量与起点无关，如速度等.与起点无关的向量叫做自由向量，数学中所谈及向量如无特别说明，均指自由向量.　　2.向量的表示：(1)几何表示法：用有向线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向；(2)字母表示法：用有向线段的起点和终点，起点在前，终点在后，或者用英文小写字母，并在字母上加箭头表示，如等.　　注意：手写体均需要加箭头.打印字体中向量一般用黑体来表示.　　3.向量的相关概念：　　模：向量的

3、大小称为模.的模分别记为　　零向量：模为零的向量叫做零向量，规定：零向量的方向是任意的.　　单位向量：模为一个单位长度的向量叫做单位向量.　　相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若相等，则记为，规定：零向量和零向量相等，即　　相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量记为.规定：零向量的相反向量是零向量，即　　平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若平行，则记为由于数学中所研究向量与起点无关，于是可以将平行向量平移到同一条直线上，于是平行向量又叫做共线向量.

4、规定：零向量和任意向量平行.　　注：(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；　　(2)平行向量的定义中“非零”限制；　　(3)相等向量、相反向量、平行向量(共线向量)的定义都有“规定”；　　(4)向量中的平行与平面几何中的平行含义不完全相同，尤其要注意到不同：时，A、B、C、D四点是可以共线的，但AB∥CD成立时，A、B、C、D四点是不可以共线的。　　二、向量的加法与减法　　加法定义：(三角形法则)　　注：需要明确一个向量的起点是另一个向量的终点。　　减法定义：　　说明：1.加法、减法的结果依然是一

5、个向量；　　2.(1)若　　(2)若　　(3)若同向，且　　　　3.运算律　　加法交换律：(由此可得出平行四边形法则)　　结合律：　　注：(1)平行四边形法则作图求和时，两个向量的起点应该相同；　　(2)常用结论特征是首尾相连.　　减法：-　　三、实数与向量的乘积(数乘)　　1.定义：从模、方向两个方面理解。　　(1)模：　　(2)方向：当需要明确的记住：实数与向量的乘法结果是一个向量。　　2.运算律　　　　3.向量共线的充要条件　　　　注：(1)非零条件不可去掉；因为如果，则存在无数个实数满足条件；若，则

6、不存在实数满足条件；(2)书中的解释没有明确说明实数的惟一性。　　4.平面向量基本定理　　设是平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内的任意一个向量有且只有一对实数使得　　　　不共线的向量叫做表示这一平面向量的一组基底。　　说明：(1)　　(2)表示一个平面的基底有无数组　　(3)在给定的基底的前提下，平面的向量与实数对是一一对应的。　　例题：　　例1.判断真假　　①单位向量都相等；　　②向量的模都是正实数；　　③共线向量一定在同一条直线上；　　④若；　　⑤若；　　⑥若ABCD是平行四边形，则.　　解析：①

7、错，向量相等应该是大小和方向都相等；单位向量只是规定了大小为1，方向可以不同；　　②错，向量的模是指向量的大小，零向量的模为0，不是正实数；　　③错，共线向量是指可以平移到同一条直线上的向量，如平行四边形ABCD中，不在同一条直线上；　　④错，如图，成立，但AB∥CD不成立；　　　　⑤对；⑥错，的方向不相同.　　例2.如图是4×3的矩形(每个方格都是单位正方形)，在起点与终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：与相等的向量有几个(不含)？与的向量有几个？与有几个？　　　　解析：与相等的向量有5个，　　与的向量

8、有24个，　　与同向且模为　　例3.化简　　解：法一：　　　　法二：　　注意：向量的加、减、数乘运算的最后结果都是向量，因此不可写作0.　　例4.如图，已知△ABC三边中点为D、E、F，求证：　　　　证明：因为D、E、F为中点，　　所以　　　　　　发展：G为△ABC重心　　例5.如图，在△AOB中，，BE：EA=1：2，F是OA中点，线段OE与BF交于点G，试用基底表示：(1)(2)；(3).　　　　解：(1)