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1、第1课向量的概念与向量的运算【知识要点】一、向量的有关概念1.向量：既有人小乂有方向的量。字母表示法：a.b.c……來表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB坐标表示法：a=xi+yj=y）。2.向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如忑匸的模分别记作
2、而
3、和1方丨。注：向最不能比较人小，但向量的模可以比较人小。3.几类特殊向量（1）零向量：长度为o的向最，记为6,其方向是任意的，6与任意向最平行，（2）单位向量：模为1个单位长度的向量，向量云。为单位向量ola（）l=l。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如方的单位向聚为：e-=4-"a（3）平行向量（共线向量）:方
4、向相同或相反的非零向量,称为平行向量。记作a//b.规定：6与任何向量平行，（4）相反向量：与万长度相等、方向相反的向最，叫做万的相反向最。记作-。。关于相反向量有：①零向量的相反向量仍是零向量，②-（-5）=5:③d+（-a）=0；④若万、5是互为相反向量，则a=-b,b--aya+b=0.（5）相等向量：长度相等R方向相同的向量。记为a=b.相等向量经过平移后总nJ以重合。二、向量的线性运算1.加法与减法三角形法则平行四边形法则运算律特点加法aa①交换律：a+b=b+a；②结合律：(cz+初+c=a+(b+c)“首尾和接”减法aA2Ba-b=AB-AC=CB减向量的终点指向被减向量的终
5、点1.实数与向量的积(1)定义：实数几与向量&的积是一个向量，记作2方，它的长度与方向规定如下:当久＞0时，Xa的方向与厅的方向相同;当2V0时,Aa的方向与0的方向相反;当2=0吋，Aa=0f方向是任意的。(2)数乘向屋的运处律①兄(“°)=(2“)a;®(A+=/la+“a；③A(a+b)=A,a+Ab。【学习探究】目标1：向量的加法、减法的几何运算例1・如图，己知在平行四边形ABCDM是BC的中点，W是对角线4C上的点，且AC=3NC,设正=方,而=厶，试用23分别表示丽，顾.C目标2：向量的线性运算例2.设两个非零向暈石,&不共线，AB-ex-e2,BC=3e{+2e2,CD=-S
6、e{-2e2,求证:A,C,D三点共线.【当堂检测】1.若O,E,F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是.(1)~EF=OF+OE(2)EF=OF-OE(1)EF=-OF+OE(4)EF=-OF-OE2.已知是平而上的三个点，总线4B上有一个点C,满足2AC+CB=0，则0C=•3.在AABC中，AB=c,AC=bf若点D满足BD=2DC，则而二—方+c.4.设非零向量a,b,c满足1671=11=1cI,a+b=c，贝lla与乙的夹角为•5.设P是AABC所在平面内的一点，荒+丽=2丽，则A.PA+PB=()B.PA+PC=OC.ra+pc=oD.PA+^B+PC=O.6.已知正方形
7、ABCD的边长为1,AB=a,BC=h,AC=cf贝\a^b+~c=7.向®(AB+MB)+(CD+BC)+DM化简后等于若a+b=la+b，则非零向量a与乙必须满足的条件是9.若向量满足Ia1=6,1厶1=4,则a+b的最大值是,最小值是10.若向量a,乙反向，且la1=1,1方1=2,贝Ijla-Zl=.
