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1、第1课时向量的概念与几何运算1．向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律．⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向．3．实数与向量的积⑴实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：①
2、
3、＝．②当＞0时，的方向与的方向；当＜0时，的方向与的方向；当＝0时，．⑵(μ)＝．(
4、＋μ)＝．(＋)＝．⑶共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得．4．⑴平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得．⑵设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是．典型例题ADBC例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求．变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（）A．－＋B．－－C．－D．＋例2.已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点
5、，点P为平面上任意一点，求证：例3.已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，，试用、表示和．BOADCNM变式训练3：如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，．例4.设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上？变式训练4：已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？基础过关1．平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对
6、实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作．并且
7、
8、＝．2．向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：＋＝－＝λ＝已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝．4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是．典型例题例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标．变式训练1.若，，则=.例2.已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，
9、－
10、＝，求cos(α－β)变式训练2.已知－
11、2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋．例3.已知向量＝(1,2)，＝(x,1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x．变式训练3.设＝(ksinθ,1)，＝(2－cosθ,1)(0<θ<π)，∥，求证：k≥．证明:k＝∴k－＝≥0∴k≥AMBCDP例4.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．(1)若＝(3，5)，求点C的坐标；(2)当
12、
13、＝
14、
15、时，求点P的轨迹．4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB平分线上，且
16、
17、＝2，求
18、坐标．基础过关1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的．当θ＝0°时，与；当θ＝180°时，与；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1,y1)，＝(x2,y2)，则·＝．3．向量的数量积的几何意义：
19、
20、cosθ叫做向量在方向上的投影(θ是向量与的夹角)．·的几何意义是，数量·等于．4．向量数量积的性
21、质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．⑴·＝·＝⑵⊥⑶当与同向时，·＝；当与反向时，·＝．⑷cosθ＝．⑸
22、·
23、≤5．向量数量积的运算律：⑴·＝；⑵(λ)·＝＝·(λ)⑶(＋)·＝典型例题例1.已知
24、
25、＝4，
26、
27、＝5，且与的夹角为60°，求：(2＋3)·(3－2)．变式训练1.已知
28、
29、＝3，
30、
31、＝4，
32、＋
33、＝5，求
34、2－3
35、的值．例2.已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．(1)若a⊥b，求；(2)求
36、＋
37、的最大值．变式训练2：已知，，其中．(1)求证：与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非
38、零的常数)．例3.已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形．解:设BC的中点为D，则()()＝02·＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形.变式训练3：若，则△ABC的形状是.例4.已知向量＝(cosθ,sinθ)和＝(－sinθ,cosθ)θ∈(π,2π)且
39、
40、＝，求cos()的值.变式
