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时间:2018-07-16
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1、第13讲:平面向量的概念与向量的几何运算一、基础概念:1、向量的的概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别:标量只有大小,是个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向和大小的双重性,两个向量不能比较大小:但大小和方向是向量的两个要素,向量的大小称为向量的模。(2)零向量:模为零的向量叫做零向量(始、终点重合),记作。注意:的方向是任意的;与的区别。(3)单位向量:长度等于1的向量叫做单位向量。(4)相等的向量:长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等,记作:任意两相等的向量都可以用一有向线
2、段表示,与起点无关。(5)负向量:大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。2、平行向量两个方向相同或相反的向量,记作:。任意一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量。规定:与任意向量平行。3.向量的表示方法(1)始终点法(几何表示法):如图向量;(2)单个字母表示法(代数表示法):小写字母加上箭头,如从向量的表示我们可以看到,可以由几何与代数两方面来刻划画向量,使数与形统一于向量之中,体现了数形结合的思想。二、向量的加、减法运算1、向量的加法求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。注意:两个向量的和仍是向量(
3、简称和向量)。(1)向量加法的平行四边形法则;(2)向量加法的三角形法则:将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合,则第一个向量的始点为始点,第二个向量的终点为终点所组成的向量,即为两向量的和(3)对于共线的向量,分别为同向或反向的两种情况。2、向量加法的性质8(1)向量加法的交换律:;(2)向量加法的结合律:;(3)。3、向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算(用加法的逆运算定义向量的减法)。若则叫做的差,记作。4、求作差向量已知向量,求作向量。作法:在平面内取一点,作可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。三、实数与向量的
4、乘积1、实数与向量的积定义:实数与非零向量的积是一个向量,记作。它的模与方向规定如下:(1)实数与向量积的运算(1)结合律:;(2)分配律:2、单位向量定义:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。设是非零向量同方向的单位向量,则3、向量平行的充要条件8与非向量平行(共线)的充要条件是有且只有一个实数使得推论:的充要条件是存在实数四、应用举例:例1、如图,正六边形的中心为O,则与相等的向量相等的向量是,的负向量是是。的平行向量是。答:与相等的向量是的负向量是。与平行的向量是等共有9个。反思:掌握概念是关键例2、化简。解:反思:三
5、角形法则,“首尾相接”。例3、已知为非零向量,试判断下列各命题的真假?(1)是的充要条件;(2)与的方向相反,且的模是的模的倍。(3)与互为负向量;(4)因为的方向与相同,且大小为的2倍,所以;答:(1)假命题;(2)真命题;(3)假命题;(4)假命题。反思:平时对问题的表述要准确ABCD例4、(1)如图,在平行四边形中,下列结论中错误的是()(A)(B)(C)(D)解:依照图形分析得答案为(C)。8(2)如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量()A.B.C.D.解:,选取(A)(3)是两个非零向量,分别是的单位向量,则下列
6、命题正确的是()。解:(C)反思:方法的选择要优化,如第(2)小题例5、(1)已知解:应用余弦定理(2)在中,,M为BC的组中点,则_______。(用表示)反思:数形结合是重要的解题方法例6.如图,分别是的中线,G为重心,且。8反思:培养目的性思维是必要的例7、已知,设为实数,如果,那么为何值时,三点在同一条直线上。反思:灵活处理共线与平行的关系例8、(1)已知不平行,三点共线。8反思:如果反过来研究,是否成立?(2)在中(如图),若求证:证明因为反思:此题结论与上题是一致的例9、(2003年江苏高考题)是平面上一点,是平面上不共
7、线的三点,动点满足则的轨迹一定通过的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解:,应选(B)。反思:向量与平面几何中的结论是相互结合的例10、如图,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是;8当时,的取值范围是.AOMPB反思:转化思想在该题中得到了体现。例11:证明不等式:,并应用此结论求函数的最大值。解:构造一平行四边形,它的两邻边的向量是,则两对角线向量为:和,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可得:成立。等号当同向共线或反向共线时取等号。上式可
8、以理解为:点与点的距离的差,其中是轴上的点,点与点分布在轴同侧。由,可知。例12某人骑摩托车以20km/h的速度向东行驶,感到风从正南方向吹来,而当速度为40km/h时,感到风从东南方向吹来,求实际风向和风速的大小。解:设表示车向西行
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