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1、第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算一、基础概念：1、向量的的概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。（2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合），记作6。注意：6的方向是任意的；6与o的区别。（3）单位向量：长度等于1的向量叫做单位向塑。（4）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：a=b.任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。（5）负
2、向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。2、平行向量两个方向相同或相反的向量，记作：allb.任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。规定：（）与任意向量平行。3.向量的表示方法（1）始终点法（几何表示法）：如图向量乔；（2）单个字母表示法（代数表示法）：小写字母加上箭头，如a从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面來刻划画向量，使数与形统一于向量之中，体现了数形结合的思想。二、向量的加、减法运算1、向量的加法求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）。（1）向量加法的平行四边形法则；（2）向量
3、加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和（3）对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。2、向量加法的性质(1)向量加法的交换律：a+b=b+a；D(2)向量加法的结合律：(a+Z)+c=Q+©+c)；—>f—>—>—#(3)a+O=O+d=d。3、向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算(用加法的逆运算定义向量的减法)。若b--x=a,则兀叫做Q与Z的差，记作a-bo4、求作差向量已知向量a与7,求作向^.a-bo作法：在平面内取一点0,作OA=b,OB=a^AB=a-^可
4、以表示为从向量&的终点指向向量。的终点的向量。三、实数与向量的乘积1、实数与向量的积定义：实数2与非零向量d的积是一个向量，记作兄V。它的模与方向规定如下:⑵兄>0时,/t・d与。方向相同;几<0时,2・Q与Q方向相反;久=0时，几・a=0.特点：当兄H0时，A•°与Q・平行实数与向量积的运算(1)结合律：兄(“・a)=(和)a；(2)分配律：(兄+“)。=A•«+//•6Z,+b)=A-a+A-b.2^单位向量定义：长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。■•Z7设是非零向量a同方向的单位向量，则q)=—；或a=aa{}.3、向量平行的充要条件解：AB+DF+CD+BC
5、+FA=(AB+BC)+CD+DF+FA=(AC-bCD)+DF+FA=(AD+DF)-kFA=AF+FA=O.反思：三角形法则，“首尾相接例3、已知为非零向量，试判断下列各命题的真假？(1)/t=0是=0的充要条件；2(2)—2。与3d的方向相反，且—2a的模是3d的模的一倍。3(3)(a-b)与一(b-a)互为负向量;r(4)因为2d的方向与d相同，且大小为d的2倍，所以—=2；a答：(1)假命题；(2)真命题；(3)假命题；(4)假命题。反思：平时对问题的表述要准确例4、(1)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()(A)AB=DC(B)AD+AB=AC(
6、C)AB—AD=BD(D)AD+CB=0解：依照图形分析得答案为(C)。b与非向量。平行(共线)的充要条件是有且只有一个实数久使得b=A-a.推论：allb的充要条件是存在实数入，人，使人-a=^b.四、应用举例:例1、如图，正六边形ABCDEF的小心为O,则与A3相等的向量相等的向量是，而的负向量是是，3万的平行向量是0答:与乔相等的向量是ED,Fd,dC,而的负向量是DO,OA,EF,CB.与而平行的向量是万C,巫花，丽压，而血耳荒等共有9个。反思：掌握概念是关键例2、化简AB-fDF+CD-fBC+FA.(2)如图所示，D是AABC的边AB上的中点，则向量CD=()A.
7、-BC+-BAB.-BC--BA22C.BC-丄BAD.BC+-BA22解：CD=CB+BD=-BC+LbA,选取(A)2(3)⑦方是两个非零向量，绻,％分别是的单位向量，则下列命题正确的是()。(A)若allb.则°0=切)(B)若allb.则绳一州=1(C)若贝Ija=a{}(D)若a=b=1,则a()=仇或d()=-b{}解：(C)反思：方法的选择要优化，如第(2)小题例5、(1)己知。=b=1,且。与併I勺夹角为60,求d+Z?,d-b的值.解：应用余弦定理222L由a+b=a+b+2c・bco
