向量的概念与运算(2)

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1、向量的概念与运算　　一、知识网络二、高考考点　　1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。　　2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是：　　（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；　　（2）向量共线的充要条件的应用；　（3）向量垂直的充要条件的应用；　（4）向量的夹角的计算与应用；　　（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。　　3、线段的定比分点线或平移问题。　　4、以向量为载体

2、的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。　　三、知识要点　　（一）向量的概念　　1、定义　（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。　　（2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。　　特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量.　　（3）平行向量（共线向量）：　一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）.　　　　（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。　零向量与零向量相等。　认知：向量的平移具有“保值性

3、”。　　2、向量的坐标表示　　（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。　　（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。　　（二）向量的运算　　1、向量的加法　　2、向量的减法　　3、实数与向量的积　　（1）定义　（2）实数与向量的积的运算律：　　（3）平面向量的基本定理：　　如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量

4、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。　　（4）向量共线的充要条件：　　（i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使　　（ii）　设　则：　　4、向量的数量积（内积）　　（1）定义：　（i）向量的夹角：已知两个非零向量和，作　叫做向量与的夹角。　　（ii）设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积（内积），记作，即　并且规定：零向量与任一向量的数量积为0.　　（2）推论　　设、都是非零向量，则　（i）　　（ii）　（iii）　　(3)坐标表示　　(i)设非零向量，则　　　(ii)设　(4)运算律（自己总结，认知）　　四、经典例题　　例1．判断下列命题是

5、否正确：　　（1）若的方向相同或相反；　　（2）若　　（3）若则A、B、C、D四点组成的图形为梯形；　　分析：　　（1）不正确　　∵不能比较方向。　　（2）不正确　　当时，虽然对任意，都有不一定平行。　　（3）不正确，故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。　　点评：判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断失误或解题出现疏露，多是零向量惹的祸。　　例2．设点O为ΔABC所在平面内一点　　（1）若，则O为ΔABC的（　　　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、垂心　　　　　　D、重心　　（2）若，则为Δ

6、ABC的（　　　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、垂心　　　　　　D、重心　　（3）若动点P满足,则点P的轨迹一定通过ΔABC的（　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、垂心　　　　　　D、重心　　（4）若动点P满足,则点P轨迹一定通过ΔABC的（　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、垂心　　　　　　D、重心　　分析：　　（1）借助向量加法分析已知条件：　　以、为邻边作平行四边形OBDC，并设OD∩BC=E，则由平行四边形性质知，E为BC和OD中点。　　①　且②　∴由①、②得　　∴A、O、E、D、四点共线　　

7、③　且④　　于是由③、④知O为ΔABC的重心，应选D　　(2)由　　同理可得OA⊥BC,OC⊥AB　　于是可知，O为ΔABC的垂心，应选C　　（3）由已知得　　①　令，则是上的单位向量，令，则是上的单位向量。　∴由①得：　　②　　令,则点Q在角A的平分线上③　又由②知的　　与共线且同向（或）　　∴动点P在角A的平分线上　∴点P的轨迹一定通过ΔABC的内心，应选B。　　（4）注意到的几何意义，　=0　　又由已知的得：　　　∴动点P在BC边的高线上　∴动点P的轨迹一定通过ΔABC的垂心，应选C。　　点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。

8、　　例3：　　（1）成立的充分必要条件为（　　）　　A、　B、　C