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时间:2020-07-07
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1、向量的概念与运算 一、知识网络二、高考考点 1、对于向量的概念,高考的考点主要是两向量平行(即共线)的判定以及两向量共线的基本定理的运用,多以选择题或填空题的形式出现。 2、对于向量的运算,向量的数量积及其运算是向量的核心内容,对此,高考的考点主要是: (1)向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用; (2)向量共线的充要条件的应用; (3)向量垂直的充要条件的应用; (4)向量的夹角的计算与应用; (5)向量的模的计算,关于向量的模的等式的变形与转化,关于向量的模的不等式的认知与转化。 3、线段的
2、定比分点线或平移问题。 4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题,以向量为载体的函数或解析几何问题(多以解答题的形式出现)。 三、知识要点 (一)向量的概念 1、定义 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量。 (2)向量的模:向量的大小(即长度)叫做向量的模,记作。 特例:长度为0的向量叫做零向量,记作;长度为1的向量叫做单位向量. (3)平行向量(共线向量): 一般定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量.特殊规定:与任一向量平行(即共线). (4)相等向量:长度相
3、等且方向相同的向量叫做相等向量。 零向量与零向量相等。 认知:向量的平移具有“保值性”。 2、向量的坐标表示 (1)定义:在直角坐标系内,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底,任作一个向量,则由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y使得,将有序实数对(x,y)叫做向量的坐标,记作;并将叫做向量的坐标表示。 (2)认知:相等的向量,其坐标也相同,反之成立。 (二)向量的运算 1、向量的加法 2、向量的减法 3、实数与向量的积 (1)定义 (2)实数与向量的积的运算律: (3)平面
4、向量的基本定理: 如果是同一面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1,2使,这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 (4)向量共线的充要条件: (i)向量与非零向量共线有且只有一个实数使 (ii) 设 则: 4、向量的数量积(内积) (1)定义: (i)向量的夹角:已知两个非零向量和,作 叫做向量与的夹角。 (ii)设两个非零向量和的夹角为,则把数量叫做与的数量积(内积),记作,即 并且规定:零向量与任一向量的数量积为0. (2)推论 设、都是非零向
5、量,则 (i) (ii) (iii) (3)坐标表示 (i)设非零向量,则 (ii)设 (4)运算律(自己总结,认知) 四、经典例题 例1.判断下列命题是否正确: (1)若的方向相同或相反; (2)若 (3)若则A、B、C、D四点组成的图形为梯形; 分析: (1)不正确 ∵不能比较方向。 (2)不正确 当时,虽然对任意,都有不一定平行。 (3)不正确,故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。 点评:判断或证明向量的共线或垂直问题,务必要注意有关向量为零向量的情形,判断失
6、误或解题出现疏露,多是零向量惹的祸。 例2.设点O为ΔABC所在平面内一点 (1)若,则O为ΔABC的( ) A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心 (2)若,则为ΔABC的( ) A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心 (3)若动点P满足,则点P的轨迹一定通过ΔABC的( ) A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心 (4)若动点P满足,则点P轨迹一定通过ΔABC的( ) A、外心
7、B、内心 C、垂心 D、重心 分析: (1)借助向量加法分析已知条件: 以、为邻边作平行四边形OBDC,并设OD∩BC=E,则由平行四边形性质知,E为BC和OD中点。 ① 且② ∴由①、②得 ∴A、O、E、D、四点共线 ③ 且④ 于是由③、④知O为ΔABC的重心,应选D (2)由 同理可得OA⊥BC,OC⊥AB 于是可知,O为ΔABC的垂心,应选C (3)由已知得 ① 令,则是上的单位向量,令,则是上的单位向量。 ∴由①得: ② 令,则点Q在角A的平分线上③ 又由②知
8、的 与共线且同向(或) ∴动点P在角A的平分线上 ∴点P的轨迹一定通过ΔABC的内心,应选B。 (4)注意到的几何意义, =0 又由已知的得: ∴动点P在BC边的高线上 ∴动点P的轨迹一定通过ΔABC的垂心,应选C。 点评:品味各小题,从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。 例3: (1)成立的充分必要条件为( ) A、 B、 C
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