向量的概念与线性运算.doc

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1、§6.1向量的概念与线性运算●课前热身1．下列命题正确的是（）A．若，则∥B．若∥∥，则∥C．若，则=D．若，则2．中，边上的高为，若，，，，，则A．B．C．D．3．平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，4．在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则．5．如图，正六边形中，有下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．●知识梳理1.平面向量的有关概念（1）向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向

2、量.（2）向量的表示方法几何表示：用有向线段表示.字母表示：用字母,等表示；用有向线段的起点与终点字母，如：.注意：解题时，向量中的箭头不可省．（3）向量的长度：向量的大小就是向量的长度（或称为模），记作．向量模的计算方法：零向量、单位向量概念：零向量：；单位向量：为单位向量.（4）平行向量定义①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②规定与任一向量平行.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作=.①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有

3、向线段的起点无关.（6）共线向量与平行向量关系①平行向量可以在同一直线上；②共线向量可以相互平行；③平行向量就是共线向量.2.平面向量的线性运算（1）向量的加法ABC①向量加法的三角形法则②向量加法的平行四边形法则DCBA（两个向量“首尾”相接）（两个向量同一起点）CAB注：（2）向量减法向量减法三角形法则：连接两个向量的终点，方向指向被减向量.（两个向量同一起点）（3）实数与向量的积的定义实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：；当时，与同向；当时，与反向；当时，．3.向量平行定

4、理当时，∥有且只有一个实数，使（）.4.平面向量基本定理如果、是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、使.注:(1)不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线(一般会事先给出)；(3)由定理知可将任一向量在给定基底、的条件下进行分解且分解形式唯一.●典例剖析考点1平面向量的有关概念【例1】下列命题中，真命题的个数是（）①向量，则直线直线；②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相相等；③向量即是有向线段；④在平行四

5、边形中，一定有.A．0个B．1个C．2个D．3个对应练习下列命题正确的（）A．与共线，与共线，则与也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C．向量与不共线，则与都是非零向量；D．有相同起点的两个非零向量不平行考点2向量共线【例2】（1）设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则．点评：设是平面上两个不共线的向量，，，，若∥，则．（2）已知向量，不共线，（），，如果，那么（）A．且与同向B．且与反向C．且与同向D．且与反向对应练习（1）设向量，满足，，且与的方向相反，则的坐标

6、为．（2）设是平面上两个不共线的向量，已知向量，，，若A、B、D三点共线，则实数的值为．考点3向量的线性运算及几何意义【例3】（1）如图D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A．B．C．D．（2）已知和点M满足，若存在实使得成立，则=A．2B．3C．4D．5点评：若点是三角形的重心（三条中线的交点）．（3）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A．B．C．D．（4）已知的三个顶点、、及所在平面内一点满足，则与的面积之比为．对应练习（1）在中，设是边上

7、的一点，且满足，，则值为A．B．C．1D．0（2）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）A．B．C．D．（3）中，点在上，平方．若，，，，则A．B．C．D．（4）是内的一点，，则面积与的面积之比为（）A．B．2C．3D．6考点4平面向量的基本定理【例4】（1）如图1，，互相为垂直单位向量，则向量可表示为（）ⅣⅢⅡⅠA．B．C．D．图1图2（2）如图2所示，平面内的两条相交直线和将该平面分成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若，且点落在第Ⅲ部分，则实数、满足（）A．，B．，C．，D．，（3

8、）在中，已知是边上一点，若，，则A．B．C．D．点评：如图1所示，与是不共线的两个向量，是平面上一点，且，若、、三点共线，则．推广：①如图2所示，与是不共线的两个向量，是平面上一点，且，若落在区域Ⅰ，则；②如图3所示，与是不共线的两个向量，是平面上一点，且，若落在区域Ⅱ，则；②如图4所示，与是不共线的两个向量，是平面上一点，且，若落在区域Ⅲ，则．图1图2图3图4（4）在中，为边上任意一点，为中点，若，则的值为A．B．C．D．1（5）若在直线上存在不同的三个点、、，使得关于实数的方程