向量的概念及线性运算.doc

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1、第1讲向量的概念及线性运算【知识梳理】一、向量的概念1.有关概念(1)定义:既有又有的量叫向量．注意向量和数量的区别．(2)向量的表示：几何表示:向量常用来表示；字母表示:或注意:①不能说向量就是有向线段;②向量不能比较大小.(3)向量的模(长度)：即向量的大小，记作或(4)零向量：的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的.(5)单位向量：的向量叫做单位向量.(6)相等向量：的两个向量叫相等向量.注意:①相等向量有传递性；②任意两个相等的非零向量都可用同一有向线段表示，与起点无关.(自由向量)(7)相反向量：的两个向量叫做相反向量.的相反向量是

2、.的相反向量是.2.平行向量(共线向量)(1)定义:方向的非零向量叫做平行(共线)向量,记作：.规定和任何向量平行.(2)注意:①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；二、向量的线性运算1.向量的加法：平行四边形法则；三角形法则(首尾连，指终点).性质：；；2.向量的减法：三角形法则(共起点，指被减)。性质：；；。3.实数与向量的积：是一个向量,满足:①大小：，②方向：时,与同向;时,与

3、反向;时,=。性质：；；；4．重要结论：(1)若，则.(2)任意向量：；.(3)；.4(4)与共线的单位向量是.(5)，.(6)四边形为平行四边形.【典例精析】例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心.(1)图中与向量相等的向量是.(2)与向量长度相等的向量有个.(3)与向量共线的向量有例2.如图，平行四边形ABCD，例3.计算：例4.梯形ABCD中，,

4、AB

5、=2

6、DC

7、,M、N分别为DC、AB中点.用表示.4例5.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N是BD上的一点，求证:M、N、C三点共线.例6.用向量加法证明：两条对角线互相平分

8、的四边形是平行四边形【过关精练】一.选择题1．正方形ABCD的边长为1，则(　　)A．1B.C．3D．22．已知△ABC和点满足.若存在实数使得成立，则等于(　　)A．5B．4C．3D．23．已知向量，且，则一定共线的三点是(　　)A．B．C．D．4．如图，在正六边形ABCDEF中，(　　)A．B.C.D.5.如图，向量的终点A，B，C在一条直线上，且.设，则以下等式中成立的是(　　)A．B．C．D．46．在中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若，则(　B　)A.B.C.D.二.填空题7．把同一平面内所有模不小于2，不

9、大于4的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积是__________8．当非零向量满足________时，平分间的夹角．9．若向量满足，则的最小值是________10．若P为△ABC的外心，且，则∠ACB＝________120°.三.解答题11．如图：三点的坐标依次是．当满足什么条件时？12．如下图，已知.(1)如图①，若C，D是AB的三等分点，求；(2)如图②，若C，D，E是AB的四等分点，求.4