向量概念及线性运算

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1、第四单元平面向量与复数第一节平面向量的概念及其线性运算基础梳理1.向量的有关概念及表示法大小方向长度模记作0长度为的向量,其方向是任意的零向量向量模既有又有的量;向量的大小叫做向量的(或)向量表示法定义名称01e相同相反a∥b共线相等相同a=b(1)a与b为相反的向量,则(2)0的相反向量为0长度且方向的向量相反向量长度且方向的向量相等向量向量又叫做共线向量共线向量a与b共线可记为0与任一向量方向或的非零向量平行向量常用表示长度等于的向量单位向量表示法定义名称相等相反a=-b平行2.向量的线性运算

2、三角形平行四边形b+aa+(b+c)三角形

3、λ

4、

5、a

6、相同相反0(λμ)aλ(μa)=;(λ+μ)a=λ(a+b)=(1)

7、λa

8、=.(2)当λ>0时,λa与a的方向;当λ<0时,λa与a的方向;当λ=0时,λa=.求实数λ与向量a的积的运算数乘法则求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差减法(1)交换律:a+b=.(2)结合律:(a+b)+c=法则法则求两个向量和的运算加法运算律法则(或几何意义)定义向量运算λa+μaλa+λb3.共线向量定理非零存在向量a与向量b共线的充要条件:一个实数

9、λ,使b=λa基础达标1.（教材改编题）化简得()A.B.C.D.02.对于向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则共线的三点是()A.A、B、CB.A、B、DC.A、C、DD.B、C、DDB1.解:原式＝2.解析：∵=2a＋4b＝2，∴，又∵BD与AB有公共点B，∴A、B、D三点共线．3.(2011·福州模拟)如图e1,e2为互相垂直的单位向量，则向量a-b可表示为()A.3e2-e1B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2C解析：如图所示，记向量a，b的终点分别为

10、A，B，则a－b＝＝e1－3e2.4.(2011·南京模拟改编)设△ABC的外心为O，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H.若OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示OH为.a+b+c解析：=a＋b，=a＋b＋c.经典例题题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题：①若

11、a

12、＝

13、b

14、，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a,b满足

15、a

16、＞

17、b

18、且a与b同向,则

19、a＞b；④若a//b,b//c，则a//c.其中正确命题的序号是.（请把正确命题的序号都填上）解：①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；②正确；∵AB=DC，∴

20、AB

21、=

22、DC

23、且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且

24、AB

25、=

26、DC

27、，因此，AB=DC;③向量不能比较大小,故③不正确;④不正确,考虑b=0这种特殊情况.综上所述，正确命题的序号是②.题型二平面向量的线性运算【例2】（2010·全国

28、改编）△ABC中，点D在边AB上，且AD=2DB，若CB=a,CA=b，则CD=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b解：如图，由题意得AD+2BD=0,又CD=CA+AD,①CD=CB+BD,②①+②×2，得3CD=CA+2CB=b+2a,∴CD=a+b.题型三向量的共线及应用【例3】（2010·苏州模拟改编）设a、b是不共线的两个非零向量.(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a-3b，求证：A、B、C三点共线；(2)是否存在实数k使8a＋kb与ka＋2b共线，若存在，求出实数k

29、的值；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：∵AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB，∴AB与BC共线.又有公共点B，∴A、B、C三点共线.(2)假设存在实数k,使8a＋kb与ka＋2b共线，则存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，∵a与b不共线，∴8－λk＝0,k－2λ＝08＝2λ2λ＝±2，∴k=±4.经验证，k=±4均适合.变式3-1（2010·湖北）已知△ABC和点M满足MA

30、+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则m=()A.2B.3C.4D.5解:由MA+MB+MC=0得MA+MB=-MC，设AB的中点为D,则MA+MB=2MD，从而-MC=2MD，即CM=2MD，所以M点为△ABC的重心.设BC的中点为E，则AB+AC=2AE,所以AE=m2AM,由三角形重心的性质知:m=3.解析：由

31、AB+AC

32、=

33、AB-AC

34、可得AB⊥AC,即得△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则

35、AM

36、=12

37、BC

38、=12×4=2.答案：C链接高考（2