向量概念的推广与应用.doc

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1、向量概念的推广与应用学习了平面向量以后我们知道，在平面内建立了坐标系后，坐标平面内的任一向量，都可以用一个有序实数对（a1，a2）表示．平面向量又称为二维向量．在学习空间向量时，给定空间一个基底，任一空间向量可用一个三元有序实数组（a1，a2，a3）来表示．空间向量又称为三维向量．二维、三维向量都称为几何向量．　　在实际问题中，往往会遇到一些量，需要更多的实数来表示．比如：期末进行了五门考试，每个学生可用顺序排列的五科成绩来表示．在汽车生产线上，对装配好的汽车进行制动距离、最高车速、百公里油耗、滑行距离、噪声、废气排放量等六项指标

2、的测试，那么每辆新车质量可用六元有序实数组表示．　　n元有序实数组（a1，a2，…，an）称为n维向量，它是几何向量的推广．所有n维向量的全体构成的集合，叫做n维向量空间，它的一个元素可看成n维向量空间的一点．　　对于n维向量，类似二维向量，可定义加法与乘法运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）、两点的距离等．　　设a=（a1，a2，…，an），b=(b1，b2，…，bn)，则　　a+b=（a1，a2，…，an）+(b1，b2，…，bn)　　　　=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)；　　λa=λ（a1，a2，…，an）=

3、（λa1，λa2，…，λan），λ∈R；　　a·b=（a1，a2，…，an）·(b1，b2，…，bn)　　　　=a1b1，a2b2，…anbn；　　　　n维向量空间中点A（a1，a2，…，an），B(b1，b2，…，bn)，的距离　　　　利用向量的运算可解决许多实际问题．　　为了研究某种商品的销售量是否随季节的变化而出现规律性的变化，采集了5年内这种商品每月销售量的数据．每年此商品的销售量可用12个月的销售量所形成的12维向量表示．不妨设5年的销售向量分别为　　a1=(a11，a12，…，a1,12)，　　a2=(a21，a22，

4、…，a2,12)，　　a3=(a31，a32，…，a3,12)，　　a4=(a41，a42，…，a4,12)，　　a5=(a51，a52，…，a5,12)．计算这5年的月平均销售向量：　　．观察这个向量的12个分量，就可看出这5年月平均销售量是否与季节的变化有关．　　上面是一个应用向量加法与数乘运算的例子，下面我们再来看用“距离”概念解决实际问题的例子．　　某企业要为10000名职工制作工作服，每人测量身高、胸围、腰围三个指标．每个人的身材用三维向量表示，并把它看作三维向量空间中的一个点．现准备制作5种型号，需要测量每种型号的服装

5、应制作多少套．用数学语言来描述，就是如何将10000个点分成5类．一种常用的分类方法是依据“距离”来分类．5种标准型号为5个点，要用两点距离的计算公式，计算每个人的身材点与5个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归哪一类．最后，计算出属于每一类的点数，就是这一类服装所需要的套数（实际计算中应将数据标准化）．当今世界是计算机的世界，上述计算不再令人生畏，向计算机输入数据，能在很短时间内完成计算任务．　　从以上两个例子可以看出，由有序实数组构成的向量，比几何向量的应用更加广泛．在日常生活和科学研究中，有许多量都可由有序实数组构成的向

6、量来表示，并可用向量理论研究这些量的性质．四　简单多面体与球　　9.9　棱柱与棱锥　　1．多面体　　由若干个平面多边①形围成的空间图形叫做多面体．自然界许多物体都呈多面体形状（图9-80）．　　围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．　　把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体（图9-80左下图）．但图9-80右下图中的多面体则不是凸多面体．　　一个多面体至少有四个面

7、．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等．