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1、从问题中发现规律在求解中探究结论教育家苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、探索者这就是说，在教学过程中，教师应适当创设一些情境，让学生自己去发现和探究，自己发现某些概念、某些规律，探究某些结论，这样可以使学生对概念的理解更深刻，知识的掌握更牢固，学生能从中体验到成功的感觉，从而激发学习的积极性.下面是笔者在“导数应用”这一节的教学实践中，引导学生发现和探究双曲线切线几个性质的过程.1.创设情境，发现规律例求过点P(2,0),曲线y=lx的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.解设切点为Q(x0,y0)(xOHO),则切线的斜率k=k
2、PQ=lxO(x0-2),又由导数的几何意义，曲线在切点Q(xO,y0)处的切线的斜率k=yz
3、x=x0=-lx20,于是有1x0(xO-2)=-1x20,AxO=l,k=-l.・•・过点P的切线I的方程为：y=-x+2,它与两坐标轴分别交于P(2,0)和B(0,2).故切线与坐标轴围成三角形的面积为S=2.设计意图：让学生明确导数的几何意义，掌握过一点的曲线的切线的求法，并在此基础上提出变式1,让学生从中发现问题，展开从特殊双曲线到一般双曲线的切线的探究.变式1：求过点P(t,0)(tHO),曲线C：y=lx的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.仿照上面的方法，同学们迅速得到切点
4、Qt2,2t,切线斜率k=-4t2,切线方程：y=-4t2(x-t),切线分别交坐标轴于P(t,0),BO,4t,切线与坐标轴围成三角形的面积S=12t4t=2.2.以静制动，提示规律变式2：求曲线D：y=mx(rriHO)在P(x0,y0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.生：曲线y=mx(rnHO)在P(x0,y0)处的切线方程为y0x+x0y-2m=0,与坐标轴交点分别为2my0,0,0,2mx0,于是切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=122my0?2mx0=2m.师：双曲线D的任何一条切线与两坐标轴围成的三角形面积也是一个常数，这个常数是不是生2同学所说的实半轴长的
5、平方？生4：当m>0时，求得双曲线y=mx(mHO)与对称轴y=x的交点(即顶点)，从而求得实轴长为2a=22m；当mO,b>0)上任意一点P(xO,yO)处的切线方程①.那么，双曲线的动切线还有没有其他性质呢？留着大家去探究.
