牛顿法在求解计算中应用探究

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1、牛顿法在求解计算中应用探究　　摘要：文章介绍了牛顿迭代算法，通过实例探讨了方程在区间的求解过程，设计了相应的C语言程序，分析了相应的计算结果。关键词：牛顿法；C语言；方程；零点中图分类号：TP399文献标识码：A文章编号：1006-4311（2013）17-0196-020引言牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f（x）=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程

2、的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。本文为了更有效地说明牛顿法在方程求根中的应用，主要从算法及程序实现上进行研究。1牛顿迭代算法7设r是f（x）=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0，f（x0））做曲线y=f（x）的切线L，L的方程为y=f（x0）+f’（x0）（x-x0），求出L与x轴交点的横坐标x1=x0-f（x0）/f’（x0），称x1为r的一次近似值。过点（x1，f（x1））做曲线y=f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1-f（x1）/f’（x1），称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r

3、的近似值序列，其中x（n+1）=x（n）-f（x（n））/f’（x（n）），称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。2实例的程序设计与分析为了研究牛顿法求根的过程，假设求方程2x4+24x3+61x2-16x+1=0接近0.1的两根，根据牛顿法的算法，给出以下C语言编写的程序代码，并在VC6.0下进行调试。后对输出的数据进行分析。源程序如下：#include#includevoidmain（）{intn=0，M；floatx，y，s，t，u，v；printf（”pleseinputxMtands：＼n”）；scanf（”%f%d%f%f”，&x，&M，&t，&s）；u=2*

4、x*x*x*x+24*x*x*x+61*x*x-16*x+1；v=8*x*x*x+72*x*x+122*x-16；y=x-u/v；7printf（”N=%d，x=%f，y=%f，

5、y-x

6、=%f，f（x）=%f＼n”，n，x，y，fabs（y-x），u）；n++；while（nt&&fabs（u）>s）{x=y；u=2*x*x*x*x+24*x*x*x+61*x*x-16*x+1；v=8*x*x*x+72*x*x+122*x-16；y=x-u/v；printf（”N=%d，x=%f，y=%f，

7、y-x

8、=%f，f（x）=%f＼n”，n，x，y，fabs（y-x），u）；n++；}

9、}为了能够找到x=0.1附近的两个根，不妨取x0=0.0，x0=0.1和x0=0.2三个值尝试一下，分别得到如下的结果：①当x0=0.0时，我们认为x=0.1213是方程的根。N=0，x=0.000000，y=0.062500，┇y-x┇=0.062500，f（x）=1.000000N=1，x=0.062500，y=0.092675，┇y-x┇=0.030175，f（x）=0.2441717N=2，x=0.092675，y=0.107509，┇y-x┇=0.014834，f（x）=0.060358N=3，x=0.107509，y=0.114853，┇y-x┇=0.007344，f

10、（x）=0.014995N=4，x=0.114853，y=0.118484，┇y-x┇=0.003630，f（x）=0.003725N=5，x=0.118484，y=0.120243，┇y-x┇=0.001759，f（x）=0.000916N=6，x=0.120243，y=0.121026，┇y-x┇=0.000783，f（x）=0.000216N=7，x=0.121026，y=0.121284，┇y-x┇=0.000258，f（x）=0.000043N=8，x=0.121284，y=0.121320，┇y-x┇=0.000036，f（x）=0.000005②当x0=0.1时，我

11、们认为x=0.1213是方程的根。N=0，x=0.100000，y=0.111133，┇y-x┇=0.011133，f（x）=0.034200N=1，x=0.111133，y=0.116648，┇y-x┇=0.005515，f（x）=0.008502N=2，x=0.116648，y=0.119361，┇y-x┇=0.002714，f（x）=0.002107N=3，x=0.119361，y=0.120648，┇y-x┇=0.001287，f（x）=0.0005137N=4，x=0.