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1、探索规律中一类求和问题的解法同学们一定知道德国有一个数学神童，在他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算1+2+3+……+100=?”.这可难为初学算术的学生，但是他却在儿秒后将答案解了出来，他把数目一对对的凑在一起：1+100,2+99,3+98,……,49+52,50+51而这样的组合有50组，所以答案很快的就可以求出是：101X50=5050.我想现在同学们一定想起他是谁了吧？他就是德国的大数学家高斯(Gauss,1777-1855),他和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称.有很
2、多题目都与高斯做的这个求和题类似，现在，就让我们来共同探索一下其中的规律.一、规律总结如果我们把高斯解的这个题一般化，那就是求1+2+3+……+n的和，把这n组和首尾的数字对应相加，就可以得到$个(n+1),所以1+2+3+……+n=2我们还可以假设S二1+2+3+……+r),再倒过来写一遍就是S=n+(n—1)++1,两式相加可以得到2S=(n+1)+(n+1)++(n+1)=n(n+l)两边同时除以2得"040中+1)S二2即：1+2+3++n二2用类似的方法我们也可以求出：1+2+3+……+
3、(n-1)二2上面两个公式同学们可以记住，计算时不妨直接应用，这样我们在探索规律时就可以把主要精力放在思考问题上，而不是花费在复杂的计算上.二、典型例题例1足球比赛时要进行单循环的淘汰赛，2个球队要进行1场比赛，3个球队要进行3场比赛，4个球队要进行6场比赛，……，n+1个球队要进行多少场比赛？解析：假设n+1个球队进行的比赛场数为S,则可以得到球队数比赛场数2133=1+246二1+2+3510=1+2+3+4615二1+2+3+4+5由规律可以得到时1个球队需要进行的比赛场数为S=l+2+3+
4、……+n二2例2在一条直线上有n个点Al,A2……An-1,An.这n个点一共可以构成多少条线段？解析：点A1和点A2可以构成线段A1A2,点A1和点A3可以构成线段A1A3,……，点A1和点An可以构成线段AlAn,一共是(n-1)条；点A2和点A3,点A2和点A4,……，点A2和点An,可以构成的线段一共有(n-2)条，依次类推，n个点可以构成的线段有：(n—l)+(n—2)++2+1二2.评注：例1中的球队我们也可以把它看作一个一个线段上的点，按照例2那样用画弧的方法，一边画弧，一边按照例1
5、那样记数，很快就能找到答案的!其实，只要大家能够灵活运用所掌握的方法，探索规律的题冃也是很简单的!例3我们知道1条可以将一个平面分成2部分，2条直线可以将一个平面分成4部分，3条直线最多可以将一个平面分成7部分，4条直线最多可以将一个平面分成11部分，你能探索出n条直线最多可以将一个平面分成几部分吗？解析：直线条数分成的平面部分12=1+124二（1+2）+137二（1+2+3）+1411二（1+2+3+4）+1S=(l+2+3+……+n)+l二2+1例4如图图形编号①②③④⑤⑥三角形边数第n个图
6、形三角形的边数一共有多少？n张(料+1)+n)=2解析：如果我们把后一个图形看作是在前一个图形的基础上在下面补充几个三角形，那么探索起其中的规律来就很容易得到问题的答案.图形编号三角形边数①3②9=3+3X2=3X(1+2)③18=9+3X3=3X(1+2+3)④30=18+3X4=3X(1+2+3+4)S=3X(1+2+3+以上只是探索规律中求和的一种类型，实际上同学们只要注意总结，善于分类，深入研究，做一个有心人，你一定能够在探索规律中有岀色表现的.4个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场。
7、如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负分得0分。比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数。问：输给第一名的队的总分是多少？A、1B、2C、3D、4E、5解答过程：—4个队进行单循环赛，共要赛6场，每场都平，6场共得12分；每场都分出胜负，6场共得18分，因此总分在12分-18分。四个队的得分是连续的自然数，而1+2+3+4=10,2+3+4+5=14,3+4+5+6=18,四个队的总得分是14分或18分，各队的得分分别是2、3、4、5分或3、4、5、6oA得5分，B得4分，C得3分，D得2
8、分。由C得3分，可知C与A、B、D比赛均踢平；由D得2分，可知D与A、B1平1负；由A、B得分都高于3分,可知A、B各胜1场，又5二3+1+1,4二3+1+0,所以A1胜2平，B1胜1平1负。B的总分是4分.假设A得6分，B得5分，C得4分，D得3分，可知D与ABC都踢平，C为3+1+0B为3+1+1A得6分只能为3+3+0A胜2场,只能胜CB,与B得分3+1+1、也与D1+1+1不符。所以4个队得分3、4、5、6的情况不存在.五年级基础篇例1.(1)有6个量杯A、B、C、D、E、
