2020届常州市高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）.doc

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1、江苏省常州市2020届第一学期期中考试高三数学理试题2019．11第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝，B＝{﹣2，﹣1，0，2}，则AB＝．答案：{﹣1，0}考点：集合交集运算解析：∵A＝，∴A＝(﹣2，2)，又∵B＝{﹣2，﹣1，0，2}，∴AB＝{﹣1，0}2．函数的定义域是．答案：(﹣1，7)考点：函数的定义域解析：由题意得：，解得﹣1＜x＜7，故原函数的定义域是(﹣1，7)．3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割

2、圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，则S6＝．答案：考点：正多边形面积解析：由题意知，该正六边形为1，是由6个全等的边长为1的等边三角形构成，故面积为：．4．设曲线在点(0，0)处的切线方程为，则a＝．答案：3考点：导数的几何意义解析：∵∴由切线方程为，可知，故a＝3．5．已知点A(1，3)，B(4，﹣1)，则与向量同方向的单位向量的坐标是．15第页答案：(，)考点：单位向量的坐标表示解析：∵点A(1，3)，B(4，﹣1)，∴(3，﹣4)，，则＝(3，﹣4)＝(，)．6．已知是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，

3、．若，则a＝．答案：﹣2考点：奇函数的性质解析：∵是定义在R上的奇函数，∴解得a＝﹣2．7．已知关于x的不等式的解集是(，﹣1)(，)，则实数a的值为．答案：﹣2考点：分式不等式解析：由题意知a＜0，且，故a＝﹣2．8．已知，为单位向量，且，若，则cos<，>＝．答案：考点：利用数量积求向量夹角解析：∵，，∴，，∴cos<，>＝．9．已知函数(A＞0，＞0，＜π)是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若，则．答案：15第页考点：三角函数的图像与性质解析：∵函数(A＞0，＞0，＜π)是奇函数，∴＝0，又∵的最小正周期为π，

4、∴＝2，即将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得则∵，∴，解得A＝2，故，∴．10．函数定义域为R，为偶函数，且对，满足＜0，若＝1，则不等式的解集为．答案：(1，4)考点：函数的奇偶性与单调性的结合解析：∵为偶函数∴的对称轴为x＝1∵对，满足＜0，∴在(，1)上递减，又对称轴为x＝1，则在(1，)上递增，∴，＝1，转化为0＜＜2，解得1＜x＜4，故原不等式的解集为(1，4)．11．已知正实数x，y满足，则的最小值为．答案：考点：基本不等式解析：∵∴，且x＞2，y＞1，15第页∴当且仅当时，取“＝”．12．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，，，若，则＝．答案：6考点：平面向量数

5、量积解析：因为，所以，即，把AC＝2代入可得：，则．13．已知A、B、C为△ABC的内角，若3tanA＋tanB＝0，则角C的取值范围为．答案：(0，]考点：诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式，正切函数的图像与性质解析：因为3tanA＋tanB＝0，可知A、B中一个锐角，一个钝角，则角C必为锐角，则tanA＞0，A为锐角，当且仅当取“＝”，则0＜C≤．14．若对任意的x[1，e2]，都有恒成立，则实数a的取值范围是．答案：[﹣1，]考点：函数与不等式（恒成立问题）解析：∵对任意的x[1，e2]恒成立，∴对任意的x[1，e2]恒成立，15第页接下来研究，则，列表如下：x[1，e)e(e

6、，e2]﹢0﹣又，，①当a＞0时，，解得；②当a＝0时，0≤1成立；③当a＜0时，，解得．综上所述，实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在区间[0，]上的最大值．15第页16．（本题满分14分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且acosB＋b＝c．（1）求∠A；（2）若a＝4，D是BC中点，AD＝3，求△ABC的面积．15第页17．（本题满分14分）某超市销售某种商品，据统计，该商品每日的销售量y(

7、单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，其中4≤x≤l5)满足：当4≤x≤9时，(a，b为常数)；当9≤x≤15时，y＝﹣5x＋85，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克．（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；15第页（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大．18．（本题满分16分）已知点A(﹣1，0)，B(0，﹣1)，倾斜角为的直线OP与单位圆在第一