高考数学人教新课标A版课件 第9篇3-2.ppt

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1、第二讲　柯西不等式与排序不等式重点难点重点：柯西不等式、排序不等式的应用．难点：应用柯西不等式、排序不等式证明不等式的证明思路．知识归纳一、柯西不等式1．一般形式：设a1、a2、…、an、b1、b2、…、bn为实数，则当且仅当bi＝0，或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1、2、…、n)时，等号成立．2．二维形式的柯西不等式：(1)代数形式：设a、b、c、d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.上式等号成立⇔ad＝bc.(2)向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则

2、α

3、

4、β

5、≥

6、α·β

7、.当且仅当β是零向量或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．二、排序不

8、等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1、c2、…、cn为b1、b2、…、bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，反序和等于顺序和⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.即反序和≤乱序和≤顺序和．三、贝努利不等式设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n>1＋nx.误区警示1．用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑合适的项便于应用归纳假设．2．应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子特点，从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立的条件．3．柯西不等式及排序

9、不等式中ai、bi(i＝1,2，…，n)均为实数，而平均值不等式中ai为正数．[例1]已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：点评：1.利用柯西不等式证明不等式时，关键构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化．2．二维形式的柯西不等式的代数形式常变形为(a1b1＋a2b2)2≤运用．设x1、x2、…、xn∈R＋，且x1＋x2＋…＋xn＝1，求证：点评：本部分内容是新增选学、各省市自主选考的内容，对该不等式的一般形式要求很低，只要了解即可.[例2]设a、b、c∈R＋，求证：证明：不妨设a≥b≥c>0，于是a2≥b2≥c2，应用排序不等式，得以上两个同向不等式相加再除以2，即得

10、原式中第一个不等式，再考虑数组a3≥b3≥c3>0及仿上可证第二个不等式.[例3]设n>1(n∈N)，证明：证明：(1)当n＝2时，左边＝∴n＝2时不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N)时不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切n≥2，且n∈R，此不等式都成立．一、选择题1．下列结论：①(1＋x)n>1＋nx(x∈R，n∈N*)②(1＋x)n>1＋nx(x>－1，n∈R)③(1＋x)n>1＋nx(x>－1,0－1,0－1，n<0)其中正确的个数为()A．1个B

11、．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]根据贝努利不等式可知，(1＋x)n>1＋nx的条件为x>－1(n∈N*，n>1)；(1＋x)n≥1＋nx的条件为x>－1，n>1或n<0；(1＋x)n≤1＋nx的条件为x>－1,0

12、设k＝，则kx－y＝0，应用柯西不等式．[(x－3)2＋(y－3)2]·[k2＋(－1)2]≥[k(x－3)－(y－3)]2＝(3－3k)2，即6(k2＋1)≥(3－3k)2.解得3－2≤k≤3＋2.∴kmax＝3＋2.[点评]设＝k，则可转化为直线kx－y＝0与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点时k的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d≤r)解决．5．已知a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝1，则的最大值为________．三、解答题6．设a、b、c是△ABC的三边长，求证：请同学们认真完成课后强化作业