高考数学人教新课标A版课件 第1篇5-2.ppt

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1、第二讲　简单的三角恒等变换重点难点重点：倍角、半角公式及积化和差、和差化积公式，依据这些公式进行三角函数的化简、求值、证明等．难点：公式的灵活运用知识归纳1．半角公式2．积化和差与和差化积公式sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]3．求值题常见类型(1)“给角求值”：所给出的角常常是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合

2、和、差、倍、半公式、和差化积、积化和差公式消去非特殊角转化为特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．计算角的三角函数值时，一般要先考虑角的取值范围，使所计算的函数在该范围内单调，以避免讨论．4．三角函数的最值问题(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式(2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asin2x＋bcosx＋

3、c可转化为cosx的二次函数式．②y＝asinx＋(a，b，c>0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．高考主要考查可化一角一函形式的和复合二次型．一、函数与方程的思想[例1]已知sinx＋siny＝，求sinx－cos2y的最大、最小值．分析：消去sinx得u＝－siny－cos2y可转化为二次函数最值，关键是消元后sinx的范围同时要转化为siny的取值范围．点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sinx＝－siny能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解

4、出siny的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤siny≤1.二、角的构造技巧与公式的灵活运用[例2]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．点评：解法1：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法2：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．你能解决下列问题吗？

5、①求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值；求cos273°＋cos247°＋cos47°cos73°的值；②求sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)的值；求cos2α＋sin2(α＋30°)－cosαsin(α＋30°)的值；③求sin2α＋cos2(α＋60°)＋sinαcos(α＋60°)的值；求cos2α＋sin2(α＋60°)－cosasin(α＋60°)的值；分析：利用半角公式求角，要注意公式前面的符号，由半角所在象限确定．答案：D[例2]－2sin70°的值等于()A．1B．－1C.D．－(文)tan70

6、°cos10°(tan20°－1)＝________.答案：－1(理)求值tan20°＋4sin20°＝________.[例3]化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β.分析：观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名化同名等等．解法4：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式＝(sinα·sinβ－cosα·cosβ)2＋2sinα·sinβ·cosα·cosβ－cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)＋sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)

7、－cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－·[2cos2(α＋β)－1]＝.点评：对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不惟一．对于三角函数式化简的目标是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能少；(3)三角函数名称尽可能统一；(4)项数尽可能少．[例4]已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1(x∈R，ω>0)的最小正周期是.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．一、选择题1．(文)函数y＝cos2xsin2x＋cos22x－的最大值为()A．－1B．1C．2D．－2[答