高考数学人教新课标A版课件 第1篇8-3.ppt

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1、第三讲　导数的实际应用重点难点重点：利用导数解决实际问题中的优化问题难点：如何建立数学模型，借助导数求最值知识归纳1．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．误区警示(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如

2、果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．[例1]如右图所示，设铁路AB＝50，B、C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省．分析：可从AB上任取一点M，设MB＝x，将总费用表示为变量x的函数，转化为函数的最值求解．(1)当汽车以40千米/小时的

3、速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为f(x)升．令f′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；当x∈(80,120]时，f′(x)>0，f(x)是增函数．∴当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)．因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速

4、度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.[例2]某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益＝销售额－投入)．解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(

5、t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元．即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)，则有4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0解得x＝－2(舍去)或x＝2，当0≤x<2时，g′(x)>0，当2

6、值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－则利润L最大时，产量q＝________.分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格，由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．因为0＜q＜84时，L′＞0；当84＜q＜200时，L′＜0，所以当q＝84时，L取得最大值．答：产量为84时，利润L最大．答案：84[例3]现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为t，要使其体积最大，其高为多少？分析：这是求容器的容积最大的

7、问题，解决此类问题应注意列关系式时，要注明自变量的取值范围，在利用导数f′(x)＝0求解时，要注意在自变量的取值范围内．用长为90，宽为48的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x，容器的体积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x(00,10

8、V(10)＝1960又V