自动控制原理 教学课件 作者 王锁庭 李洪涛 主编第2章 拉氏变换及其应用.ppt

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1、2.1拉氏变换的基本概念2.2拉氏变换的运算定理2.3拉氏反变换2.4应用拉氏变换求解微分方程第2章拉氏变换及其应用拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。复变量原函数象函数拉氏变换符号拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数F(s)。设有时间函数f(t)，当t<0时，f(t)＝0；在t≥0时定义函数f(t)的拉普拉斯变换为：2.1拉氏变换的基

2、本概念2.1.1拉普拉斯变换的定义(1)单位阶跃函数单位阶跃函数定义：其拉普拉斯变换为：2.1.2常用函数的拉普拉斯变换f(t)t1(2)单位脉冲函数单位脉冲函数定义：且：其拉普拉斯变换为：δ(t)tΔt→0∞0(3)单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数定义：其拉普拉斯变换为：f(t)t(4)指数函数指数函数表达式：式中：a是常数。其拉普拉斯变换为：(5)正弦信号函数正弦信号函数定义：由欧拉公式，正弦函数表达为：两式相减其拉普拉斯变换为：(6)余弦信号函数余弦信号函数定义：由欧拉公式，余弦函

3、数表达为：两式相加其拉普拉斯变换为：拉普拉斯变换简表(待续)序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]11(单位阶跃函数)1s2(t)(单位脉冲函数)13K(常数)Ks4t(单位斜坡函数)1s2拉普拉斯变换简表(续1)序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]5tn(n=1,2,…)n!sn+16e-at1s+a7tne-at(n=1,2,…)n!(s+a)n+181T1Ts+1tTe拉普拉斯变换简表(续2)序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t

4、)]9sints2+210costss2+211e-atsint(s+a)2+212e-atcosts+a(s+a)2+2拉普拉斯变换简表(续3)序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]13(1-e-at)1s(s+a)14(e-at-e-bt)1(s+a)(s+b)15(be-bt-ae–at)s(s+a)(s+b)16sin(t+)cos+ssins2+21a1b-a1b-a拉普拉斯变换简表(续4)序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=

5、L[f(t)]17e-ntsinn1-2tn2s2+2ns+n218e-ntsinn1-2t1s2+2ns+n219e-ntsin(n1-2t-)ss2+2ns+n2=arctann1-21n1-211-21-2拉普拉斯变换简表(续5)序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]201-e-ntsin(n1-2t+)n2s(s2+2ns+n2)=arctan211-cost2s(s2+2)22

6、t-sint2s(s2+2)23tsint2s(s2+2)211-21-22.2.1线性定理若K1、K2是任意两个复常数，且：证明：则：2.2拉普拉斯变换的运算定理(2)微分定理若：证明：则：f(0)是t=0时的f(t)值同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：(2)微分定理推广到n阶导数的拉普拉斯变换：如果：函数f(t)及其各阶导数的初始值均为零，即则：(3)积分定理若：则：证明：函数f(t)积分的初始值(3)积分定理同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：若：函数f(t)各重积分的初始

7、值均为零，则有注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。(4)终值定理若：则：证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有由于，上式可写成写出左式积分(5)初值定理若：则：证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有由于，上式可写成或者(6)延迟定理将f(t)沿横轴右移一段时间τ后得到f1(t)，f1(t)=f(t-τ)，f1(t)为f(t)的延迟函数。式中：(7)复频域的位移定理若：证明：则：将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，

8、称之为拉普拉斯反变换。其公式：拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法。简写为：2.3拉氏反变换2.3.1拉普拉斯反变换的定义如果把f(t)的拉氏变换F(s)分成各个部分之和，即假若F1(s)、F2(s)，…，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么当F(s)不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将F(s)分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的F(s)的拉氏反变