自动控制原理 教学课件 作者 王锁庭 李洪涛 主编第6章 自动控制系统的根轨迹分析法.ppt

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1、6.1根轨迹分析法的基本概念6.2根轨迹绘制的基本规则6.3广义根轨迹第6章自动控制系统的根迹分析法6.4利用根轨迹分析系统性能6.1根轨迹分析法的基本概念闭环系统的动态性能与闭环传递函数极点在s平面上的具体分布有着密切的关系。因此，确定系统闭环极点的位置对于分析和设计系统具有重要意义。系统的闭环极点就是该系统特征方程式的根，对于低阶系统，可以方便的求出系统的特征根，而对于三阶或三阶以上的系统，采用解析法求取系统的特征根通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，给系

2、统的分析带来很大的不便。1948年，伊万思（W.R.Evans）提出了一种确定系统闭环特征根的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基础上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便的确定闭环极点。定义：当系统开环传递函数中某一参数从0时，闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹。一般取开环传递系数（根轨迹增益Kg）作为可变参数。6.1.1根轨迹的概念某一个二阶系统的动态结构如图-R(s)C(s)1.系统的开环传递函数2.闭环传递函数系统的开环增益3.系统的闭环特征方程求得两个根

3、为闭环特征根s1，s2是K函数，随着K的改变而变化。(1)K=0：s1=0,s2=2,是根迹的起点(开环极点),用“”表示。2j01(2)01：K=0K=0K=1KK过阻尼临界阻尼欠阻尼2j01K=0K=0K=1KK从例子的根轨迹图可以得到，当增益变化时，特征根全部在s的左半平面，所以

4、系统是稳定的。再之，选择合适的增益值可保证满意的动态性能。本例的根轨迹图是求解特征方程的根做出的，但是高阶系统求根是很麻烦的。事实上，可以根据已知的开环零、极点迅速地绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。下面讨论根轨迹的一般情况。6.1.2根轨迹方程-R(s)C(s)G(s)H(s)系统开环传递函数为系统闭环传递函数为系统的根轨迹方程（系统闭环特征方程）或满足开环传递函数等于-1的s即为闭环特征方程式的根。系统的开环传递函数用开环零、极点来表示式中Kg为系统的根迹

5、增益，zj为系统的开环零点，pi为系统的开环极点。根轨迹方程为幅值方程相角方程根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一点对应的Kg值。幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。例:某系统开环传递函数为j0θ１θ２θ３θ４φ１Ｐ１Ｐ２Ｐ３Ｐ４ｚ１ｓ’求根轨迹上的点对试验点s′，如果它在根轨迹上，就应当满足相角条件：然后量出或计算出5个角度，就知道试验点s′是否在根轨迹上。如果上式成立，则s′是根

6、轨迹上的一个点。相角方程幅值方程根据开环传递函数的零极点绘制根轨迹曲线的步骤如下：（1）在s平面上找出所有满足相角方程的s点，然后把这些点连接成光滑曲线，这些曲线就是Kg由零变至无穷大时的根轨迹。（2）应用幅值方程，对根轨迹上若干所关心的点计算Kg，并标在该点旁边。6.2根轨迹绘制的基本规则工程中根轨迹的绘制是根据幅值条件和相角条件，找出若干规则，依据规则，画出根轨迹的大致图形。再对图形加以修正，便可得到较为准确的根轨迹图形。用这些基本规则绘制出的根轨迹,其相角条件遵循180o±2kπ条件，因此称为

7、180o根轨迹，相应的绘制规则也就可以叫做180o根轨迹的绘制规则。以根轨迹增益Kg为可变参量的常规根轨迹的绘制规则规则一根轨迹的连续性和对称性由于根轨迹增益Kg是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连续的。利用这一性质，只要精确画出几个特征点，描点连线即可画出整个根轨迹。由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。σjω0s1s2s3s4s5s6规则二根轨迹的分支数及其起点和终点1.根轨迹的分支数每个闭环特

8、征根的变化轨迹都是整个根轨迹的一个分支；Kg取某一数值时,n阶特征方程有n个确定的根。Kg=0→∞每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹，n个根形成n条根轨迹。σjω0s1s2s3s4s5s62.根轨迹的起点和终点①起点根轨迹方程：Kg=0,只有s=pi(i=1，2，…，n)能满足根轨迹方程，即说明系统的n条根轨迹分别从n个开环极点pi开始。=Kg1-j=1m(s-zj)i=1n(s-pi)②终点当Kg→∞时，只有s=zj(j=1，2，…，m)能满足式根轨迹