自动控制原理 教学课件 作者 任彦硕 主编 第4章 根轨迹法.ppt

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1、第四章根轨迹分析法第一节根轨迹方程一、根轨迹的一般概念二、根轨迹方程幅值条件与幅角条件幅值条件为：幅角条件：三、应用幅值条件确定值某控制系统的开环传递函数为例4－1某控制系统的开环传递函数为试判断点和点是否在根轨迹上。解该点不在根轨迹上。四、应用幅角条件判断根轨迹上的点五、闭环零点与开环零极点之间的关系可见，闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成，闭环零极点放大系数等于前向通道零极点放大系数。第二节绘制根轨迹的一般规则一、根轨迹的连续性二、根轨迹的分支数三、根轨迹的对称性四、根轨迹的起点和终点五、

2、实轴上的根轨迹实轴上某个开区间右侧的开环零极点数之和为奇数的区间存在根轨迹，为偶数的不存在根轨迹。六、根轨迹的分离点和会合点例4－2某闭环系统的动态结构图如图示，试计算根轨迹的分离点及对应的解令得到七、根轨迹的渐近线1、渐近线与实轴的交点2、渐近线与实轴的夹角八、根轨迹与虚轴的交点例4－3已知某控制系统的开环传递函数为试绘制以为参变量的根轨迹并计算与虚轴的交点。解1、根轨迹起始于(-1,j0)，(-2,j0),（-4,j0）点，终止于三个无限零点。2、实轴上[-1,-2]区间、[-4,-∞）区间存在根轨迹

3、。3、由求得，解得所在区间不存在根轨迹，舍去；分离点坐标为(-1.45,j0)。4、确定渐近线。5、确定根轨迹与虚轴的交点。令，解得九、根轨迹的出射角和入射角十、系统的阶数满足时根轨迹的走势n个特征根必有另一些根轨迹的实部和在增大而向右行。一部分根轨迹向左行时，实部和在减小，为维持全部特征根之和为常数，由多项式的理论还知，最高次幂的系数归一化后，n个特征根之积与常数项满足例4－4根据动态结构图绘制以K为参变量的根轨迹。解令十一、根轨迹的平滑性由根轨迹方程知，是特征根s的多项式函数。由多项式理论知，的反函数

4、存在且是多值的。事实上，多值连续函数恰是以为参变量的闭环根轨迹，如果一阶导数也连续，则根轨迹是光滑的；如果n阶导数都连续，则是平滑的。将对s求导，得,反函数的导数为,在分离点和会合点使,几何意义为：增大的使特征根抵达分离点时，再增大微分，特征根已离开实轴进入复平面了，此时特征根在实轴方向的增量等价于表明根轨迹离开实轴进入复平面相对于的变化斜率是沿虚轴方向的；会合点的情形具有相似性。证明了：两条根轨迹在实轴上是以垂直于实轴的方向分离到复平面去的；在会合点，两条根轨迹从复平面以垂直于实轴的方向交汇于会合点的。

5、除分离点和会合点外，式连续。二阶导数为除分离点和会合点外，二阶导数仍然连续。类似地，可证明任意阶导数除分离点和会合点外都连续，证明根轨迹是平滑的。第三节控制系统的根轨迹一、单闭环负反馈控制系统的根轨迹例4－5系统的开环传递函数为试绘制以τ为参变量的根轨迹。解特征方程式为二、广义根轨迹三、零度根轨迹1、实轴上的零度根轨迹2、零度根轨迹渐近线与实轴的夹角3、零度根轨迹的出射角和入射角例4－4某双闭环控制系统的内环是单位正反馈,内环的开环传递函数为试绘制以为参变量的内环根轨迹，并计算内环解具有衰减振荡响应时的取

6、值范围。四、多闭环控制系统的根轨迹第四节应用根轨迹法分析控制系统的性能一、在根轨迹上确定闭环极点例4－5已知单位负反馈系统的开环传递函数为，试在根轨迹上确定一个值，使其中一个闭环极点位于的阻尼线上，并求解其余的闭环极点；估算该值下的性能指标。解在根轨迹上作的阻尼线（）交于点，读得其共轭根为。另一特征根可由特征方程次高次幂的系数求得为，与的实部比为满足闭环主导极点的条件。由幅值条件知，点的值为将当作二阶系统的极点可用二阶性能指标来估算系统性能。二、增加开环零点对系统响应性能的影响三、增加开环极点对系统响应

7、性能的影响四、增加开环偶极子对系统性能的影响开环偶极子满足：①、极点比零点更靠近坐标原点，②、较比原系统的闭环主导极点而言，这对零极点的间距很小，并且很靠近坐标原点，通常它们的中心距到坐标原点的距离比闭环主导极点的负实部要小一个数量级。第五节应用MATLAB绘制根轨迹rlocus(g)，其中g为根轨迹例4－6应用MATLAB语言绘制如下开环传递函数的闭环根轨迹。解根轨迹方程为MATLAB程序为num=[1,1]；den=conv([1,4,8,0],[1,3])；g=tf(num,den)，rlocus(

8、g)例4－7仍以例4－6系统的开环传递函数为例，在根轨迹图上罩上等ζ线簇和等线簇，同时要求了解关心点的值及该值下的全部特征根。解重会根轨迹并罩上网格的MATLAB程序为num=[1,1]；den=conv([1,4,8,0],[1,3])；g=tf(num,den)；rlocus(g)；运行后，界面显示根轨迹，在界面上点击鼠标右键出现的对话框上点击左键“grid”选项即将等ζ线簇和等线簇罩在根轨迹图上。在程序界面上输入如下函数