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《概率论与数理统计教学课件 李云龙 3.3连续型随机变量.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.3-1连续型随机变量一、概率密度函数概念定义1设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使对任意实数x均有则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称密度函数.概率密度函数与分布函数均可完整地描述连续型随机变量的统计规律性.定义：函数f(x)在区间[a,b]上连续，通常称函数积分上限函数.定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分上限函数F(x)在[a,b]上可导,且注：连续型R.V.的分布函数是连续函数。牛顿-莱布尼茨公式：定积分的简单性质:设f(x)和g(x)都是[a,b]上的连续函数，k为常数.性质1:性质2:性质3:积分
2、可加性二、概率密度函数的性质由定义知,概率密度函数f(x)具有以下性质:[确定待定参数]※例1：设随机变量X的概率密度函数为求常数k。练习2：设X是连续型R.V.，其密度函数为求常数A。练习1：设X为连续型R.V.，其密度函数为求常数a。设有一克金,被碾成沿x轴分布的一片面积为1的金箔1.概率密度函数的几何解释三、概率密度函数的应用1.概率密度函数的几何解释注:连续型随机变量取某一确定值的概率为零.A=ΦP(A)=0即，不可能事件与零概率事件的关系：2.零概率事件与不可能事件是一回事吗？同理：必然事件与1概率事件的关系与此相似。因此,在计算连续型R.V.取值落在一个区间的概率时,
3、不分开区间或是闭区间,这与离散型R.V.是不同的.[1]由分布函数求密度函数※例3：设随机变量X的分布函数为求概率密度函数。注：对分布函数分区间求导，得密度函数3.概率密度函数与分布函数关系：※※Exe.1：设R.V.X的分布函数求概率密度函数。Exe.2：设R.V.X的分布函数求概率密度函数。[2]由密度函数求分布函数※3.概率密度函数与分布函数关系：※※注：当密度函数为分段函数时，由于分布函数是定义在整个数轴上的函数，因此，在利用密度函数求解分布函数时应分区间求解。例3：设R.V.X的概率密度函数为求X的分布函数。[由密度函数求区间概率]※4.区间概率求解F(-∞)=0,F(
4、+∞)=1。性质:0≤F(x)≤1；分布函数F(x)定义：应用：※定义：设函数f(x)在区间上连续,规定：称此函数为f(x)在上的广义积分。当极限存在时,称广义积分收敛。广义积分的牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式例3续：设随机变量X的分布函数为求区间概率(两种方法)解：由分布函数求区间概率公式得：离散型随机变量连续型随机变量分布函数分布律概率密度函数描述随机变量知识点与基本要求：（1）理解连续型随机变量概率密度函数的概念、性质及其应用（如确定密度函数中的参数；已知密度函数求分布函数或已知分布函数求密度函数；求随机变量的区间概率）；（2）掌握连续型随机变量概率密度函数与分布函数
5、间的关系（例如确定分布函数中的参数；已知随机变量的分布律或密度函数求分布函数；已知分布函数求分布律或密度函数）；（3）会利用概率密度函数计算随机变量在某区间内取值的概率问题。教学重点：连续型随机变量概率密度函数的概念、性质及其应用，概率密度函数与分布函数间的关系。本节小结：基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式不定积分的基本公式不定积分的基本公式不定积分的基本公式练习：设随机变量X的概率密度函数为求X的分布函数。解：概率密度函数f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,其分段区间为(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数为累积概率和,故应就x在上述不同区间上积分求
6、F(x).①当时，②当时，[积分公式]]③当时，[积分：为单位圆面积一半。]故分布函数为：②利用积分对积分区间的可加性，就被积函数[概率密度函数]分段积分。由概率密度函数计算分布函数的方法①用概率密度函数取值非零的定义区间将整个x轴分成若干个子区间；计算分布函数的方法。熟练各种积分的计算是基础而重要的。实例:一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.求(1)X的分布函数.解弹着点于是故X的分布函数为其图形为一连续曲线三、几种重要的连续型随机变量1、均匀分布(Uniformdistributio
7、n)定义1:设连续型随机变量X的概率密度函数为则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为其分布函数为例1:某个电阻器的电阻R服从(900,1100)上的均匀分布，求：(1)电阻R落在(950,1050)上的概率；(2)电阻R落在(850,1050)上的概率；例2:设随机变量X服从区间(2,5)上的均匀分布，现对X进行三次独立观测，求：(1)恰好有两次观测值大于3的概率；(2)至少有两次观测值大于3的概率。注：均匀分布的概率意义，如果X落在区间(a,b)上的均匀分布，那么对于任意满
