概率论与数理统计教学课件 李云龙 6.1+6.2.ppt

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1、第六章统计及其分布6.1总体与样本引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限的，甚至是少量的。例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问题之一。§1总体和样本总体：研究对象的全体。

2、如一批灯泡。个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn),n为样本容量简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称为简单随机样本。1.每个Xi与X同分布2.X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量[说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X具有概率密度f(x)，则样本（X1,X2,…,Xn）具有联合密度函数：统计量：样本的不含任何未知参数的函数。常用统计量：设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的

3、样本随机变量独立性的两个定理§2常用的分布正态总体样本均值和方差的分布6.2统计量及抽样分布二、抽样分布（一）概念精确分布／小样本分布：大多数是在正态分布总体条件下得到的，但应用不广（二）种类渐进分布／大样本分布：样本容量无限增大时统计量的极限分布，可看作是抽样分布的一种近似抽样分布是样本统计量的概率分布。从一个总体中随机抽取容量相等的样本，根据样本资料计算某一统计量所有可能的概率分布，称为这个统计量的抽样分布（三）、样本平均数的抽样分布1、总体方差已知时，样本平均数的抽样分布[定理7–1]设总体，（）是一个简单随机样本，则有：~（，）将样本

4、平均数标准化，即有：（0，1）上述定理说明：样本平均数的数学期望值等于总体平均数，样本平均数的方差等于总体方差除以样本容量，同时也说明了样本平均数抽样分布具有的基本性质（三）样本平均数的抽样分布1、总体方差已知时，样本平均数的抽样分布[定理7-2]中心极限定理：设是具有期望值，方差的任意总体，则样本平均数的抽样分布将随的增大而趋于总体平均数为，标准差为的正态分布，即渐近服从(，)。将这一正态随机变量进行标准化，则有：0，1)**说明：样本无论抽自正态或非正态总体，只要样本容量足够大，在总体平均数和方差已知和有限的条件下，样本平均数的抽样分布就

5、会趋于正态分布。一般认为样本容量≥30时，即可用定理7-2作为推断的依据。2、总体方差未知时，样本平均数的抽样分布当总体方差未知时，可以用样本方差代替总体方差，或用样本标准差代替总体标准差，则有：[定理7—3]设总体，）,（）是其一个简单随机样本，样本平均数为，样本标准差，则统计量~（）**即当总体方差未知时，样本平均数服从自由度为的分布（四）样本比例（成数）的抽样分布当从总体中抽取一个容量为的样本时，样本中具有某种特征的单位数服从二项分布，即有~，)，且有，因此样本比例也服从二项分布，且有：根据中心极限定理，当∞时，二项分布趋近于正态分布。

6、所以，在大样本下，若和均大于5，样本比例近似服从正态分布：思考题1.什么叫总体？什么叫简单随机样本？总体X的样本X1,X2,…,Xn有哪两个主要性质？2.什么是统计量？什么是统计量的值？3.样本均值和样本方差如何计算？4.N(0,1)分布,t分布,χ2分布和F分布的双侧、下侧、上侧分位点是如何定义的？怎样利用附表查这些分位点的值？5.对一个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么？6.对两个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么？